原標(biāo)題:數(shù)學(xué)籌碼:李永樂告訴你為什么贏不了莊家
對(duì)于賭場(chǎng)的想像,,很多人第一時(shí)間想到的是:周潤(rùn)發(fā),、劉德華、周星馳各版的拉風(fēng)出場(chǎng),,身披黑色大衣,,梳著大背頭迎風(fēng)前行,然后鼓風(fēng)機(jī)使勁地吹,,這才是賭神的樣子,。
實(shí)際上,,賭場(chǎng)里隱藏的巨鯨賭客,,是那些低調(diào)沉默、思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)理愛好者,。
他們會(huì)關(guān)注博彩公司的賠率,找到安全的對(duì)沖辦法,。
挖掘博弈后面的勝率,不輕易踏入莊家設(shè)置的陷阱,。
在賭場(chǎng)上長(zhǎng)期獲利的高手,他們賭的不是人生運(yùn)氣,,其實(shí)賭的是數(shù)學(xué)籌碼。
所以,,你真的心血來(lái)潮忍不住要賭上一把時(shí),如果找不到希爾伯特,、伯努利,、貝葉斯這樣的搭檔,,那就帶上李永樂這樣的數(shù)學(xué)小助理,。
01
小試牛刀
看看做莊怎么樣才能賺錢
在去賭場(chǎng)之前,,我們先小試身手,。知己知彼,方能百戰(zhàn)百勝,。做賭徒之前,先做個(gè)莊了解一下本質(zhì),。看看莊是怎么賺錢的,體驗(yàn)下數(shù)學(xué)的威力,。
歐冠賽場(chǎng)都結(jié)束了,,我們就以中超賽事做個(gè)莊。以最簡(jiǎn)單的“廣州恒大VS武漢卓爾”猜勝負(fù)為例:
已知1:恒大勝,,賠率1.50,;卓爾勝,,賠率2.50;
已知2:買恒大勝投注總額x元,,買卓爾勝投注總額y元,;
求證:只要滿足一定條件,無(wú)論比賽結(jié)果如何,,莊家必定贏錢。
聰明的李老師搬來(lái)個(gè)小黑板開始計(jì)算:作為莊家的我們收入是:x+y元
假設(shè)1:恒大勝出,,莊家需派獎(jiǎng)1.50x元
假設(shè)2:卓爾勝出,莊家需派獎(jiǎng)2.50y元
推論:當(dāng)x+y>1.50x,,且x+y>2.50y,兩個(gè)條件同時(shí)成立時(shí),,莊家收入恒大于任何一種比賽結(jié)果的派獎(jiǎng)?lì)~,莊家必定能贏錢,。
這個(gè)方程組很好解:
x+y>1.50xx+y>2.50y
=>0.5x<y<0.67x<p="">
圖片來(lái)源:李老師的西瓜視頻教程
所以,當(dāng)買恒大勝與卓爾勝的投注額滿足以上方程時(shí),,我這個(gè)做莊的就會(huì)贏錢。
這個(gè)例子雖然簡(jiǎn)單,,但讓賭徒看到了數(shù)學(xué)的力量,。
做莊這么爽,不過(guò)且慢,,這幫下注的兄弟們也不一定聽我的啊。
他們憑什么這么聽話,,會(huì)以這樣的比例投注?所以,,數(shù)學(xué)并非萬(wàn)能,還要談?wù)勅诵浴?/p>
02
調(diào)整賠率
讓人性來(lái)配合數(shù)學(xué)
做莊看起來(lái)沒那么容易,,得好好再算計(jì)算計(jì)。別偷雞不成,,反蝕把大米。
按照上面算出的0.5x<y<0.67x賠率:<p="">
假設(shè)押注恒大的總金額為100萬(wàn),,押注卓爾的總金額為60萬(wàn)。
我們?cè)谫惽笆盏降目傃鹤⒔痤~為160萬(wàn),。
如果
恒大勝了
,需要賠出100萬(wàn)×1.5=150萬(wàn),。
毛利為:160萬(wàn)-150萬(wàn)=10萬(wàn)。
如果
卓爾勝了
,,需要賠出60萬(wàn)×2.5=150萬(wàn)。
毛利為:160萬(wàn)-150萬(wàn)=10萬(wàn),。
在這個(gè)賠率區(qū)間
下注,的確穩(wěn)賺不賠,,的確是好生意。
如果不在0.5x<y<0.67x這個(gè)投注比例區(qū)間呢,。假設(shè)老王押注恒大總金額為100萬(wàn),,押注卓爾總金額也是100萬(wàn)。如果恒大贏了,,莊家賺到手的就是50萬(wàn)。如果卓爾贏了,我需要賠出100萬(wàn)×2.5=250萬(wàn),。倒貼50萬(wàn)——如果真這樣,我拉著小李同學(xué)就要跑路,。<p="">
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李老師鎮(zhèn)定如常,稱要祭出殺手锏了,,那就是“誘盤”。所謂誘盤,,舉個(gè)例子:2014年6月30日
哥斯達(dá)黎加對(duì)希臘
的決賽。
6月27日盤口顯示:哥斯達(dá)黎加賠率1.7,,即每投注100元,,可贏170元,,希臘賠率為2.2。
6月28日,,盤口中哥隊(duì)賠率上升到1.75,而希隊(duì)下降到2.15,。
6月29日上午,哥隊(duì)賠率飆升至2.075,,希隊(duì)賠率則降至1.825,。
許多賭客將賭資回流至希臘隊(duì),從而保證投注額分配始終處于有利莊家的模式里,。
作為莊家,總有辦法將下注比率鎖定在0.5x<y<0.67x,。所以,做莊一定是賺錢的,。看來(lái),我得去拿個(gè)博彩的營(yíng)業(yè)執(zhí)照,。<p="">
李老師非常冷靜地提醒我:清醒,清醒,,我們沒有資格做莊,我們只是個(gè)小賭徒,。
03
看得到的是概率
看不見的是陷阱
幸好我們都是理性的人,馬上從夢(mèng)鄉(xiāng)里驚醒過(guò)來(lái),。不過(guò),畢竟學(xué)了點(diǎn)小皮毛,,忍不住想去拉斯維加斯開賭的。李老師認(rèn)為得先訓(xùn)練訓(xùn)練,,做莊和當(dāng)賭徒是不一樣的,。
這話說(shuō)得有道理,我欲善其賭,,必先利其器。不過(guò)太復(fù)雜的賭博游戲,,我也不太懂。就來(lái)一個(gè)最簡(jiǎn)單的玩法:與李老師比拋硬幣,。
規(guī)則是這樣的:
擲硬幣,正面贏反面輸,,如果贏了可以拿走比賭注多一倍的錢,如果輸了則會(huì)賠掉本金,。
乍一聽可能覺得這游戲還不錯(cuò),公平,!
于是拿出了身上的100元來(lái)玩這個(gè)游戲,每次下注5元,,這樣至少有20次的下注機(jī)會(huì),。不過(guò),,運(yùn)氣不太好,,第一把就是反面,輸了5塊錢,。
生性樂觀的我覺得沒什么,反正不管怎么說(shuō),,贏面都有50%,下一把就可以贏回來(lái),。結(jié)果,很快就把身上的錢都輸光了,。反復(fù)試驗(yàn)了很多次,仍然是同樣的結(jié)果,。
百思不得其解:明明是公平的50%贏面,在50%概率下至少不會(huì)虧本的,,可為什么最后會(huì)輸光?
助理李永樂同學(xué)再一次教導(dǎo)我,,你以為自己看到了50%的概率,,把游戲看得透徹明白,,殊不知,,你看到了
概率
,卻沒有看到背后的
陷阱:大數(shù)定律,。
04
大數(shù)定律:
貌似公平的陷阱
一正一反,均為50%概率,,按照大數(shù)定律來(lái)說(shuō),這是
必然規(guī)律
,。然而,你有沒有想過(guò),,正是這種表面上的“公平”,讓你
誤解了大數(shù)定律,,最終陷入了“賭徒謬論”,?
先來(lái)看看這種讓你覺得“公平”的大數(shù)定律究竟是什么。它是數(shù)學(xué)家伯努利提出的:
假設(shè)n是N次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),,p是每一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率,,那么,當(dāng)N趨于無(wú)窮時(shí):
[圖片]
式中n表示發(fā)生次數(shù),,N表示試驗(yàn)總次數(shù),。
也就是說(shuō),大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象里其實(shí)藏著某種必然規(guī)律,。
還是以擲硬幣為例,,當(dāng)投擲次數(shù)足夠大時(shí),出現(xiàn)正(反)面的頻率將逐漸接近于1/2,,且隨著投擲次數(shù)的增加,,偏差會(huì)越來(lái)越小,如下圖,。這是最早發(fā)現(xiàn)的大數(shù)定律之一,。
▲擲硬幣頻率分布圖
從表面概率看,這確實(shí)是場(chǎng)公平的游戲,。但這種公平是有一定條件的,,注意,這就是普通人看不到的,。大數(shù)定律講究
“大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象”
,,只有
足夠多次
試驗(yàn)才能使得硬幣正反面出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)之比幾乎等于
1/2
。
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可具體多少次才算“足夠多”,?才能夠把它用在個(gè)人對(duì)賭上?沒有人知道,。因?yàn)椋怕收摻o出的答案是——無(wú)窮大,。
可投擲硬幣次數(shù)越小,大數(shù)定律的身影就越模糊,,可能10次中5正5反,,也可能9正1反,,也可能10正0反或0正10反……
現(xiàn)實(shí)往往是,,在遠(yuǎn)未達(dá)到“足夠多”次試驗(yàn)時(shí),,你就已經(jīng)輸了個(gè)精光了。你覺得自己比賭場(chǎng)更有錢嗎,?
把“大數(shù)定律”當(dāng)“小數(shù)定律”,,這種在潛意識(shí)里被奉為圭臬的“公平”,讓你踏入了
“賭徒謬論”
。
所以,,這種與賭場(chǎng)比拋硬幣的游戲萬(wàn)萬(wàn)是不能玩的。
05
虛擬模型
如何獲得安全的最高收益
又學(xué)會(huì)了一點(diǎn)知識(shí),,禁不住有點(diǎn)小得意。實(shí)在是等不及了,,現(xiàn)在就要去拉斯維加斯當(dāng)賭王。
阻止一個(gè)想賭徒實(shí)在太難,想要阻止一個(gè)想當(dāng)賭王的賭徒是難上加難,。但無(wú)論如何,,作為一個(gè)合格的助理,他必須講出最后的賭場(chǎng)秘密,。如果一定要去賭的話,一定要研究下面這個(gè)數(shù)學(xué)模型,,才能走上賭王之路,。
先假設(shè)了一個(gè)博彩模型(特別聲明一下,,這只是假設(shè)模型,實(shí)際上不會(huì)有這么好的賭徒賠率):
一個(gè)1賠2(不包括本金)的簡(jiǎn)單賭局,,扔硬幣下注,,假設(shè)賭注為1元,,硬幣如果為正面則凈贏2元,如果為反面則輸?shù)?元?,F(xiàn)在你的總資產(chǎn)為100元,,每一次的押注都可投入任意金額。
你會(huì)怎么賭呢,?已知擲硬幣后正反面的概率都為50%,,賠率是1賠2(不包括本金),那么這個(gè)賭局其實(shí)只要耐心去下注,,從數(shù)學(xué)上講那是穩(wěn)賺不賠的賭局,。但
實(shí)際情況卻可能會(huì)有偏差。
如果你是冒險(xiǎn)主義者
要玩就玩票大的,,All In,!一次性把100元全押上,幸運(yùn)的話一次就獲得200元,。
如果輸了,100元資產(chǎn)拱手獻(xiàn)給對(duì)方。好不容易來(lái)趟拉斯維加斯,這肯定不是明策,。
如果你是保守主義者
你可能會(huì)想,,謹(jǐn)慎點(diǎn),百分之一慢慢來(lái),。
你每次只下注1元,,正面贏2元,,反面輸1元,。
玩了20把突然覺得,,對(duì)方下注10元一次就贏得20元,自己1次才贏2元、10次才能贏得20元,,感覺自己已經(jīng)錯(cuò)過(guò)幾個(gè)億而開始后悔,!
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那到底該以多少比例下注才能獲得
最大收益
?這貌似無(wú)常的賭局,真的有
數(shù)學(xué)規(guī)律
嗎,?
是的,,后面隱藏著一個(gè)
數(shù)學(xué)秘密:凱利公式
卻能夠算出答案:利用這個(gè)公式計(jì)算后,,你每次下注比例為
當(dāng)時(shí)總資金的25%
,這樣就能獲得最大收益。
真的嗎?賭徒的熱血已經(jīng)沸騰了,。
06
賭場(chǎng)的數(shù)學(xué)秘密:
凱利公式
讓我們來(lái)看看凱利公式的廬山真面目:
在公式中,,各參數(shù)意義為:
f=應(yīng)投注的資本比例,;
p=獲勝的概率(也就是拋硬幣正面的概率);
q=失敗的概率,即(1-p)(也就是硬幣反面的概率),;
b=賠率,等于期望盈利÷可能虧損(也就是盈虧比);
公式上面的分子(bp-q)代表“贏面”,數(shù)學(xué)中叫“期望值”,。
什么才是
不多不少
的合適賭注呢?凱利告訴我們要通過(guò)選擇
最佳投注比例
,,才能長(zhǎng)期獲得
最高盈利
,。
回到前面(第五節(jié))提到的例子中,硬幣拋出正反面的概率都是50%,,所以p、q獲勝失敗的概率都為0.5,,而
賠率=期望盈利÷可能虧損=2元盈利÷1元虧損
,,賠率就是2,我們要求的答案是f,,也就是
(bp-q)÷b=(2*50%-50%)÷2=25%,。
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由此,我們根據(jù)凱利公式的計(jì)算而得投注比例,,在這個(gè)博彩賠率里,,我每次都拿出當(dāng)前手中資金的25%來(lái)進(jìn)行下注。設(shè)初始資金為100,,硬幣為正面時(shí)收益為投注的2倍,,為反面則失去投注金額。在以下兩個(gè)表中,,我們模擬計(jì)算了10次賭局的收益情況,。
▲表1-25%投注下10次收益表
▲表2-25%投注下10次收益表
表1從先正后反的情況計(jì)算了收益,表2則計(jì)算了正反分布交錯(cuò)情況下的收益結(jié)果,。比較兩表最終可以發(fā)現(xiàn)其收益是相等的,,硬幣出現(xiàn)正反面的先后順序?qū)τ谧罱K收益的計(jì)算結(jié)果并無(wú)影響,。
而按25%的投注比例進(jìn)行投注,收益基本呈現(xiàn)穩(wěn)步增長(zhǎng)的大趨勢(shì),。
但假設(shè)投注比例為100%時(shí),,10次當(dāng)中只要出現(xiàn)任意一次的反面,就會(huì)徹底輸光身上的所有錢,,直接出局,,且每輪反面概率還為50%;
而每次1元1元地投注,,也就是投注比例為1%的時(shí)候,,10次數(shù)學(xué)上的收益為100+10×50%×2+(-1)×10×50%=105,這風(fēng)險(xiǎn)很小,,不過(guò)收益太低,。
由此看來(lái),凱利公式才是真正理解了賭博的人兒啊,。
07
賭徒困境:
你的期望值是負(fù)值
以上舉的1賠2的例子,,是一個(gè)虛擬模型,。這個(gè)數(shù)學(xué)模型,,對(duì)賭徒是非常有利的。
因?yàn)楦鶕?jù)f=(bp-q)/b公式,,
(bp-q)÷b=(2*50%-50%)÷2=25%,。
這個(gè)結(jié)果(又叫期望值)是一個(gè)正數(shù),賭徒可以利用凱利公式獲得收益,。
然而,,實(shí)際的
賭博游戲
中,幾乎都是對(duì)賭徒
不公平
的游戲,。也就是說(shuō),,這個(gè)模型是
反過(guò)來(lái)的
,
期望值
對(duì)賭徒來(lái)說(shuō)是
負(fù)數(shù)
,。當(dāng)然,,你表面上是
看不出來(lái)的
,或者說(shuō)
期望負(fù)值
很低
,,賭徒很難完全感知到,。
作為一個(gè)理性的賭徒,得認(rèn)真讀完以下3條準(zhǔn)則,。
①期望值(bp-q)為0時(shí),,賭局為公平游戲。
②期望值(bp-q)為負(fù)時(shí),,賭徒處于劣勢(shì),,更不應(yīng)下任何賭注,。
③期望值(bp-q)為正時(shí),這時(shí)按照凱利公式投注賺錢最快,,風(fēng)險(xiǎn)最小,。
也就是說(shuō),大部分的賭博游戲,,賭徒的期望值實(shí)際上是第②條,。把以上例子中的身份顛倒過(guò)來(lái),也就是說(shuō)莊家在利用凱利公式同你下注,。
可見,,這表面看來(lái)淺薄浮躁的賭場(chǎng),其實(shí)冷靜深邃,。除了上面說(shuō)到的數(shù)學(xué)和人性,,實(shí)際上涉及經(jīng)濟(jì)學(xué)、博弈論等,。要真正深入了解這方面知識(shí),,還有很多深?yuàn)W的學(xué)問(wèn),涉及到
馬爾科夫鏈,、二項(xiàng)分布,、遞推公式
等等。
幸好有李永樂小助理,,搜他,,搜他,這家伙可真是個(gè)寶藏寶寶,。
這位數(shù)學(xué)小助理——“李永樂老師”,,現(xiàn)在是西瓜視頻獨(dú)家創(chuàng)作人,之后他的科普視頻更新只能在西瓜視頻看到,。
結(jié)
贏家法則是“不賭”
誰(shuí)都逃不過(guò)“賭徒破產(chǎn)困境”
有人可能說(shuō),,我又不是與賭場(chǎng)對(duì)賭,我只要贏了對(duì)手就行了,??蔁o(wú)論是你還是對(duì)方,或明或暗都是要給賭場(chǎng)“抽水”的,。也許抽水只有小小的2%,,但賭的時(shí)間一長(zhǎng),都是在給賭場(chǎng)打工,。在莊的眼里,,賭徒永遠(yuǎn)有一個(gè)逃不開的魔咒:
賭徒破產(chǎn)困境。
▲賭徒破產(chǎn)定理模擬圖
當(dāng)然,,沒有誰(shuí)能說(shuō)服一個(gè)
墮落的賭徒
,,李永樂也不能,,因?yàn)檫@是
人格的缺陷
。但如果你還是一個(gè)具有
理性精神的人
,,就別再迷戀運(yùn)氣,。
賭徒能夠依靠的是祖宗保佑,而賭場(chǎng)后面的大佬是
高斯,、凱利,、伯努利這樣的數(shù)學(xué)大神。
你很難贏得了莊家,。
所以,,還是去西瓜視頻看看“李永樂老師”的視頻。
論理性,,沒有人能比賭場(chǎng)老板更理性,。
論數(shù)學(xué),沒有人能比賭場(chǎng)老板請(qǐng)的專家更精通數(shù)學(xué),。
論賭本,,沒有人能比賭場(chǎng)老板的本錢更多。
世上有太多人還在心存僥幸,,告訴他唯一的答案,。如果要想真正贏得人生這場(chǎng)賭局,法則只有一個(gè):
不賭
,。
隨著法律的嚴(yán)厲打擊和公安機(jī)關(guān)的不懈努力,一些隱藏在網(wǎng)絡(luò)陰影下的犯罪活動(dòng)終將暴露于光天化日之下,。
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