原標(biāo)題：數(shù)學(xué)籌碼：李永樂告訴你為什么贏不了莊家

對于賭場的想像，很多人第一時間想到的是：周潤發(fā),、劉德華,、周星馳各版的拉風(fēng)出場,，身披黑色大衣，梳著大背頭迎風(fēng)前行,，然后鼓風(fēng)機(jī)使勁地吹,，這才是賭神的樣子。

實際上,，賭場里隱藏的巨鯨賭客,，是那些低調(diào)沉默、思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)理愛好者,。

他們會關(guān)注博彩公司的賠率,，找到安全的對沖辦法。

挖掘博弈后面的勝率,，不輕易踏入莊家設(shè)置的陷阱,。

在賭場上長期獲利的高手，他們賭的不是人生運氣,，其實賭的是數(shù)學(xué)籌碼,。

所以，你真的心血來潮忍不住要賭上一把時,，如果找不到希爾伯特,、伯努利、貝葉斯這樣的搭檔,，那就帶上李永樂這樣的數(shù)學(xué)小助理,。

01

小試牛刀

看看做莊怎么樣才能賺錢

在去賭場之前，我們先小試身手,。知己知彼,，方能百戰(zhàn)百勝。做賭徒之前,，先做個莊了解一下本質(zhì),。看看莊是怎么賺錢的,，體驗下數(shù)學(xué)的威力,。

歐冠賽場都結(jié)束了，我們就以中超賽事做個莊,。以最簡單的“廣州恒大VS武漢卓爾”猜勝負(fù)為例：

已知1：恒大勝,，賠率1.50；卓爾勝,，賠率2.50,；

已知2：買恒大勝投注總額x元，買卓爾勝投注總額y元；

求證：只要滿足一定條件,，無論比賽結(jié)果如何,，莊家必定贏錢。

聰明的李老師搬來個小黑板開始計算：作為莊家的我們收入是：x+y元

假設(shè)1：恒大勝出,，莊家需派獎1.50x元

假設(shè)2：卓爾勝出,，莊家需派獎2.50y元

推論：當(dāng)x+y>1.50x，且x+y>2.50y,，兩個條件同時成立時,，莊家收入恒大于任何一種比賽結(jié)果的派獎額，莊家必定能贏錢,。

這個方程組很好解：

x+y>1.50xx+y>2.50y

=>0.5x<y<0.67x<p="">

圖片來源：李老師的西瓜視頻教程

所以,，當(dāng)買恒大勝與卓爾勝的投注額滿足以上方程時，我這個做莊的就會贏錢,。

這個例子雖然簡單,，但讓賭徒看到了數(shù)學(xué)的力量。

做莊這么爽,，不過且慢,，這幫下注的兄弟們也不一定聽我的啊。

他們憑什么這么聽話,，會以這樣的比例投注,？所以，數(shù)學(xué)并非萬能,，還要談?wù)勅诵浴?/p>

02

調(diào)整賠率

讓人性來配合數(shù)學(xué)

做莊看起來沒那么容易,，得好好再算計算計。別偷雞不成,，反蝕把大米,。

按照上面算出的0.5x<y<0.67x賠率：<p="">

假設(shè)押注恒大的總金額為100萬，押注卓爾的總金額為60萬,。

我們在賽前收到的總押注金額為160萬,。

如果

恒大勝了

，需要賠出100萬×1.5=150萬,。

毛利為：160萬-150萬=10萬,。

如果

卓爾勝了

，需要賠出60萬×2.5=150萬,。

毛利為：160萬-150萬=10萬,。

在這個賠率區(qū)間

下注,，的確穩(wěn)賺不賠,，的確是好生意。

如果不在0.5x<y<0.67x這個投注比例區(qū)間呢。假設(shè)老王押注恒大總金額為100萬,，押注卓爾總金額也是100萬,。如果恒大贏了，莊家賺到手的就是50萬,。如果卓爾贏了,，我需要賠出100萬×2.5=250萬。倒貼50萬——如果真這樣,，我拉著小李同學(xué)就要跑路,。<p="">

圖片來源：李老師的西瓜視頻教程

李老師鎮(zhèn)定如常，稱要祭出殺手锏了,，那就是“誘盤”,。所謂誘盤，舉個例子：2014年6月30日

哥斯達(dá)黎加對希臘

的決賽,。

6月27日盤口顯示：哥斯達(dá)黎加賠率1.7,，即每投注100元，可贏170元,，希臘賠率為2.2,。

6月28日，盤口中哥隊賠率上升到1.75,，而希隊下降到2.15,。

6月29日上午，哥隊賠率飆升至2.075,，希隊賠率則降至1.825,。

許多賭客將賭資回流至希臘隊，從而保證投注額分配始終處于有利莊家的模式里,。

作為莊家,，總有辦法將下注比率鎖定在0.5x<y<0.67x。所以,，做莊一定是賺錢的,。看來,，我得去拿個博彩的營業(yè)執(zhí)照,。<p="">

李老師非常冷靜地提醒我：清醒，清醒,，我們沒有資格做莊,，我們只是個小賭徒。

03

看得到的是概率

看不見的是陷阱

幸好我們都是理性的人,，馬上從夢鄉(xiāng)里驚醒過來,。不過，畢竟學(xué)了點小皮毛，忍不住想去拉斯維加斯開賭的,。李老師認(rèn)為得先訓(xùn)練訓(xùn)練,，做莊和當(dāng)賭徒是不一樣的。

這話說得有道理,，我欲善其賭,，必先利其器。不過太復(fù)雜的賭博游戲,，我也不太懂,。就來一個最簡單的玩法：與李老師比拋硬幣。

規(guī)則是這樣的：

擲硬幣,，正面贏反面輸,，如果贏了可以拿走比賭注多一倍的錢，如果輸了則會賠掉本金,。

乍一聽可能覺得這游戲還不錯,，公平！

于是拿出了身上的100元來玩這個游戲,，每次下注5元,，這樣至少有20次的下注機(jī)會。不過,，運氣不太好,，第一把就是反面，輸了5塊錢,。

生性樂觀的我覺得沒什么,，反正不管怎么說，贏面都有50%,，下一把就可以贏回來,。結(jié)果，很快就把身上的錢都輸光了,。反復(fù)試驗了很多次,，仍然是同樣的結(jié)果。

百思不得其解：明明是公平的50%贏面,，在50%概率下至少不會虧本的,，可為什么最后會輸光？

助理李永樂同學(xué)再一次教導(dǎo)我,，你以為自己看到了50%的概率,，把游戲看得透徹明白，殊不知,，你看到了

概率

,，卻沒有看到背后的

陷阱：大數(shù)定律,。

04

大數(shù)定律：

貌似公平的陷阱

一正一反，均為50%概率,，按照大數(shù)定律來說，這是

必然規(guī)律

,。然而,，你有沒有想過，正是這種表面上的“公平”,，讓你

誤解了大數(shù)定律,，最終陷入了“賭徒謬論”？

先來看看這種讓你覺得“公平”的大數(shù)定律究竟是什么,。它是數(shù)學(xué)家伯努利提出的：

假設(shè)n是N次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),，p是每一次試驗中A發(fā)生的概率，那么,，當(dāng)N趨于無窮時：

[圖片]

式中n表示發(fā)生次數(shù),，N表示試驗總次數(shù)。

也就是說,，大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象里其實藏著某種必然規(guī)律,。

還是以擲硬幣為例，當(dāng)投擲次數(shù)足夠大時,，出現(xiàn)正（反）面的頻率將逐漸接近于1/2,，且隨著投擲次數(shù)的增加，偏差會越來越小,，如下圖,。這是最早發(fā)現(xiàn)的大數(shù)定律之一。

▲擲硬幣頻率分布圖

從表面概率看,，這確實是場公平的游戲,。但這種公平是有一定條件的，注意,，這就是普通人看不到的,。大數(shù)定律講究

“大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象”

，只有

足夠多次

試驗才能使得硬幣正反面出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)之比幾乎等于

1/2

,。

圖片來源：李老師的西瓜視頻教程

可具體多少次才算“足夠多”,？才能夠把它用在個人對賭上？沒有人知道,。因為,，概率論給出的答案是——無窮大。

可投擲硬幣次數(shù)越小,，大數(shù)定律的身影就越模糊,，可能10次中5正5反,，也可能9正1反，也可能10正0反或0正10反……

現(xiàn)實往往是,，在遠(yuǎn)未達(dá)到“足夠多”次試驗時,，你就已經(jīng)輸了個精光了。你覺得自己比賭場更有錢嗎？

把“大數(shù)定律”當(dāng)“小數(shù)定律”,，這種在潛意識里被奉為圭臬的“公平”,，讓你踏入了

“賭徒謬論”

。

所以,，這種與賭場比拋硬幣的游戲萬萬是不能玩的。

05

虛擬模型

如何獲得安全的最高收益

又學(xué)會了一點知識,，禁不住有點小得意,。實在是等不及了，現(xiàn)在就要去拉斯維加斯當(dāng)賭王,。

阻止一個想賭徒實在太難,，想要阻止一個想當(dāng)賭王的賭徒是難上加難。但無論如何,，作為一個合格的助理,，他必須講出最后的賭場秘密。如果一定要去賭的話,，一定要研究下面這個數(shù)學(xué)模型,，才能走上賭王之路。

先假設(shè)了一個博彩模型（特別聲明一下,，這只是假設(shè)模型,，實際上不會有這么好的賭徒賠率）：

一個1賠2（不包括本金）的簡單賭局，扔硬幣下注,，假設(shè)賭注為1元,，硬幣如果為正面則凈贏2元，如果為反面則輸?shù)?元?，F(xiàn)在你的總資產(chǎn)為100元,，每一次的押注都可投入任意金額。

你會怎么賭呢,？已知擲硬幣后正反面的概率都為50%,，賠率是1賠2（不包括本金），那么這個賭局其實只要耐心去下注,，從數(shù)學(xué)上講那是穩(wěn)賺不賠的賭局,。但

實際情況卻可能會有偏差。

如果你是冒險主義者

要玩就玩票大的,，All In,！一次性把100元全押上,，幸運的話一次就獲得200元。

如果輸了,，100元資產(chǎn)拱手獻(xiàn)給對方,。好不容易來趟拉斯維加斯，這肯定不是明策,。

如果你是保守主義者

你可能會想,，謹(jǐn)慎點，百分之一慢慢來,。

你每次只下注1元，正面贏2元,，反面輸1元,。

玩了20把突然覺得，對方下注10元一次就贏得20元,，自己1次才贏2元,、10次才能贏得20元，感覺自己已經(jīng)錯過幾個億而開始后悔,！

圖片來源：李老師的西瓜視頻教程

那到底該以多少比例下注才能獲得

最大收益

,？這貌似無常的賭局，真的有

數(shù)學(xué)規(guī)律

嗎,？

是的,，后面隱藏著一個

數(shù)學(xué)秘密：凱利公式

卻能夠算出答案：利用這個公式計算后，你每次下注比例為

當(dāng)時總資金的25%

,，這樣就能獲得最大收益,。

真的嗎？賭徒的熱血已經(jīng)沸騰了,。

06

賭場的數(shù)學(xué)秘密：

凱利公式

讓我們來看看凱利公式的廬山真面目：

在公式中,，各參數(shù)意義為：

f=應(yīng)投注的資本比例；

p=獲勝的概率（也就是拋硬幣正面的概率）,；

q=失敗的概率,，即(1-p)（也就是硬幣反面的概率）；

b=賠率,，等于期望盈利÷可能虧損（也就是盈虧比）,；

公式上面的分子(bp-q)代表“贏面”，數(shù)學(xué)中叫“期望值”,。

什么才是

不多不少

的合適賭注呢,？凱利告訴我們要通過選擇

最佳投注比例

，才能長期獲得

最高盈利

,。

回到前面（第五節(jié)）提到的例子中,，硬幣拋出正反面的概率都是50%,，所以p、q獲勝失敗的概率都為0.5,，而

賠率＝期望盈利÷可能虧損=2元盈利÷1元虧損

,，賠率就是2，我們要求的答案是f,，也就是

(bp-q)÷b=(2*50%-50%)÷2=25%,。

圖片來源：李老師的西瓜視頻教程

由此，我們根據(jù)凱利公式的計算而得投注比例,，在這個博彩賠率里,，我每次都拿出當(dāng)前手中資金的25%來進(jìn)行下注。設(shè)初始資金為100,，硬幣為正面時收益為投注的2倍,，為反面則失去投注金額。在以下兩個表中,，我們模擬計算了10次賭局的收益情況,。

▲表1-25%投注下10次收益表

▲表2-25%投注下10次收益表

表1從先正后反的情況計算了收益，表2則計算了正反分布交錯情況下的收益結(jié)果,。比較兩表最終可以發(fā)現(xiàn)其收益是相等的,，硬幣出現(xiàn)正反面的先后順序?qū)τ谧罱K收益的計算結(jié)果并無影響。

而按25%的投注比例進(jìn)行投注,，收益基本呈現(xiàn)穩(wěn)步增長的大趨勢,。

但假設(shè)投注比例為100%時，10次當(dāng)中只要出現(xiàn)任意一次的反面,，就會徹底輸光身上的所有錢,，直接出局，且每輪反面概率還為50%,；

而每次1元1元地投注,，也就是投注比例為1%的時候，10次數(shù)學(xué)上的收益為100+10×50%×2+(-1)×10×50%=105,，這風(fēng)險很小,，不過收益太低。

由此看來,，凱利公式才是真正理解了賭博的人兒啊,。

07

賭徒困境：

你的期望值是負(fù)值

以上舉的1賠2的例子，是一個虛擬模型,。這個數(shù)學(xué)模型,，對賭徒是非常有利的。

因為根據(jù)f=(bp-q)/b公式,，

(bp-q)÷b=(2*50%-50%)÷2=25%,。

這個結(jié)果（又叫期望值）是一個正數(shù),，賭徒可以利用凱利公式獲得收益。

然而,，實際的

賭博游戲

中,，幾乎都是對賭徒

不公平

的游戲。也就是說,，這個模型是

反過來的

,，

期望值

對賭徒來說是

負(fù)數(shù)

。當(dāng)然,，你表面上是

看不出來的

,，或者說

期望負(fù)值

很低

，賭徒很難完全感知到,。

作為一個理性的賭徒,，得認(rèn)真讀完以下3條準(zhǔn)則。

①期望值(bp-q)為0時,，賭局為公平游戲,。

②期望值(bp-q)為負(fù)時,，賭徒處于劣勢,，更不應(yīng)下任何賭注。

③期望值(bp-q)為正時,，這時按照凱利公式投注賺錢最快,，風(fēng)險最小。

也就是說,，大部分的賭博游戲,，賭徒的期望值實際上是第②條。把以上例子中的身份顛倒過來,，也就是說莊家在利用凱利公式同你下注,。

可見，這表面看來淺薄浮躁的賭場,，其實冷靜深邃,。除了上面說到的數(shù)學(xué)和人性，實際上涉及經(jīng)濟(jì)學(xué),、博弈論等,。要真正深入了解這方面知識，還有很多深奧的學(xué)問,，涉及到

馬爾科夫鏈,、二項分布、遞推公式

等等,。

幸好有李永樂小助理,，搜他,，搜他,，這家伙可真是個寶藏寶寶。

這位數(shù)學(xué)小助理——“李永樂老師”,，現(xiàn)在是西瓜視頻獨家創(chuàng)作人,，之后他的科普視頻更新只能在西瓜視頻看到。

結(jié)

贏家法則是“不賭”

誰都逃不過“賭徒破產(chǎn)困境”

有人可能說,，我又不是與賭場對賭，我只要贏了對手就行了,。可無論是你還是對方,，或明或暗都是要給賭場“抽水”的。也許抽水只有小小的2%,，但賭的時間一長，都是在給賭場打工,。在莊的眼里，賭徒永遠(yuǎn)有一個逃不開的魔咒：

賭徒破產(chǎn)困境,。

▲賭徒破產(chǎn)定理模擬圖

當(dāng)然，沒有誰能說服一個

墮落的賭徒

,，李永樂也不能，因為這是

人格的缺陷

,。但如果你還是一個具有

理性精神的人

，就別再迷戀運氣,。

賭徒能夠依靠的是祖宗保佑，而賭場后面的大佬是

高斯、凱利,、伯努利這樣的數(shù)學(xué)大神,。

你很難贏得了莊家。

所以,，還是去西瓜視頻看看“李永樂老師”的視頻,。

論理性，沒有人能比賭場老板更理性,。

論數(shù)學(xué)，沒有人能比賭場老板請的專家更精通數(shù)學(xué),。

論賭本，沒有人能比賭場老板的本錢更多,。

世上有太多人還在心存僥幸，告訴他唯一的答案,。如果要想真正贏得人生這場賭局,，法則只有一個：

不賭

,。