原標(biāo)題：數(shù)學(xué)籌碼：李永樂(lè)告訴你為什么贏不了莊家

對(duì)于賭場(chǎng)的想像,，很多人第一時(shí)間想到的是：周潤(rùn)發(fā),、劉德華,、周星馳各版的拉風(fēng)出場(chǎng),，身披黑色大衣,，梳著大背頭迎風(fēng)前行,，然后鼓風(fēng)機(jī)使勁地吹,，這才是賭神的樣子,。

實(shí)際上,，賭場(chǎng)里隱藏的巨鯨賭客,，是那些低調(diào)沉默、思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)理愛(ài)好者。

他們會(huì)關(guān)注博彩公司的賠率,，找到安全的對(duì)沖辦法,。

挖掘博弈后面的勝率，不輕易踏入莊家設(shè)置的陷阱,。

在賭場(chǎng)上長(zhǎng)期獲利的高手,，他們賭的不是人生運(yùn)氣，其實(shí)賭的是數(shù)學(xué)籌碼,。

所以,，你真的心血來(lái)潮忍不住要賭上一把時(shí)，如果找不到希爾伯特,、伯努利,、貝葉斯這樣的搭檔，那就帶上李永樂(lè)這樣的數(shù)學(xué)小助理,。

01

小試牛刀

看看做莊怎么樣才能賺錢

在去賭場(chǎng)之前,，我們先小試身手。知己知彼,，方能百戰(zhàn)百勝,。做賭徒之前，先做個(gè)莊了解一下本質(zhì),?？纯辞f是怎么賺錢的，體驗(yàn)下數(shù)學(xué)的威力,。

歐冠賽場(chǎng)都結(jié)束了,，我們就以中超賽事做個(gè)莊。以最簡(jiǎn)單的“廣州恒大VS武漢卓爾”猜勝負(fù)為例：

已知1：恒大勝,，賠率1.50,；卓爾勝，賠率2.50,；

已知2：買恒大勝投注總額x元,，買卓爾勝投注總額y元；

求證：只要滿足一定條件,，無(wú)論比賽結(jié)果如何,，莊家必定贏錢。

聰明的李老師搬來(lái)個(gè)小黑板開(kāi)始計(jì)算：作為莊家的我們收入是：x+y元

假設(shè)1：恒大勝出,，莊家需派獎(jiǎng)1.50x元

假設(shè)2：卓爾勝出,，莊家需派獎(jiǎng)2.50y元

推論：當(dāng)x+y>1.50x，且x+y>2.50y,，兩個(gè)條件同時(shí)成立時(shí),，莊家收入恒大于任何一種比賽結(jié)果的派獎(jiǎng)?lì)~,，莊家必定能贏錢。

這個(gè)方程組很好解：

x+y>1.50xx+y>2.50y

=>0.5x<y<0.67x<p="">

圖片來(lái)源：李老師的西瓜視頻教程

所以,，當(dāng)買恒大勝與卓爾勝的投注額滿足以上方程時(shí),，我這個(gè)做莊的就會(huì)贏錢。

這個(gè)例子雖然簡(jiǎn)單,，但讓賭徒看到了數(shù)學(xué)的力量,。

做莊這么爽，不過(guò)且慢,，這幫下注的兄弟們也不一定聽(tīng)我的啊,。

他們憑什么這么聽(tīng)話，會(huì)以這樣的比例投注,？所以,，數(shù)學(xué)并非萬(wàn)能，還要談?wù)勅诵浴?/p>

02

調(diào)整賠率

讓人性來(lái)配合數(shù)學(xué)

做莊看起來(lái)沒(méi)那么容易,，得好好再算計(jì)算計(jì),。別偷雞不成，反蝕把大米,。

按照上面算出的0.5x<y<0.67x賠率：<p="">

假設(shè)押注恒大的總金額為100萬(wàn),，押注卓爾的總金額為60萬(wàn)。

我們?cè)谫惽笆盏降目傃鹤⒔痤~為160萬(wàn),。

如果

恒大勝了

,，需要賠出100萬(wàn)×1.5=150萬(wàn)。

毛利為：160萬(wàn)-150萬(wàn)=10萬(wàn),。

如果

卓爾勝了

,，需要賠出60萬(wàn)×2.5=150萬(wàn)。

毛利為：160萬(wàn)-150萬(wàn)=10萬(wàn),。

在這個(gè)賠率區(qū)間

下注，的確穩(wěn)賺不賠,，的確是好生意,。

如果不在0.5x<y<0.67x這個(gè)投注比例區(qū)間呢。假設(shè)老王押注恒大總金額為100萬(wàn),，押注卓爾總金額也是100萬(wàn),。如果恒大贏了，莊家賺到手的就是50萬(wàn),。如果卓爾贏了,，我需要賠出100萬(wàn)×2.5=250萬(wàn)。倒貼50萬(wàn)——如果真這樣,，我拉著小李同學(xué)就要跑路,。<p="">

圖片來(lái)源：李老師的西瓜視頻教程

李老師鎮(zhèn)定如常,，稱要祭出殺手锏了，那就是“誘盤”,。所謂誘盤,，舉個(gè)例子：2014年6月30日

哥斯達(dá)黎加對(duì)希臘

的決賽。

6月27日盤口顯示：哥斯達(dá)黎加賠率1.7,，即每投注100元,，可贏170元，希臘賠率為2.2,。

6月28日,，盤口中哥隊(duì)賠率上升到1.75，而希隊(duì)下降到2.15,。

6月29日上午,，哥隊(duì)賠率飆升至2.075，希隊(duì)賠率則降至1.825,。

許多賭客將賭資回流至希臘隊(duì),，從而保證投注額分配始終處于有利莊家的模式里。

作為莊家,，總有辦法將下注比率鎖定在0.5x<y<0.67x,。所以，做莊一定是賺錢的,?？磥?lái)，我得去拿個(gè)博彩的營(yíng)業(yè)執(zhí)照,。<p="">

李老師非常冷靜地提醒我：清醒,，清醒，我們沒(méi)有資格做莊,，我們只是個(gè)小賭徒,。

03

看得到的是概率

看不見(jiàn)的是陷阱

幸好我們都是理性的人，馬上從夢(mèng)鄉(xiāng)里驚醒過(guò)來(lái),。不過(guò),，畢竟學(xué)了點(diǎn)小皮毛，忍不住想去拉斯維加斯開(kāi)賭的,。李老師認(rèn)為得先訓(xùn)練訓(xùn)練,，做莊和當(dāng)賭徒是不一樣的。

這話說(shuō)得有道理,，我欲善其賭,，必先利其器。不過(guò)太復(fù)雜的賭博游戲,，我也不太懂,。就來(lái)一個(gè)最簡(jiǎn)單的玩法：與李老師比拋硬幣,。

規(guī)則是這樣的：

擲硬幣，正面贏反面輸,，如果贏了可以拿走比賭注多一倍的錢,，如果輸了則會(huì)賠掉本金。

乍一聽(tīng)可能覺(jué)得這游戲還不錯(cuò),，公平,！

于是拿出了身上的100元來(lái)玩這個(gè)游戲，每次下注5元,，這樣至少有20次的下注機(jī)會(huì),。不過(guò)，運(yùn)氣不太好,，第一把就是反面,，輸了5塊錢。

生性樂(lè)觀的我覺(jué)得沒(méi)什么,，反正不管怎么說(shuō),，贏面都有50%，下一把就可以贏回來(lái),。結(jié)果,，很快就把身上的錢都輸光了。反復(fù)試驗(yàn)了很多次,，仍然是同樣的結(jié)果,。

百思不得其解：明明是公平的50%贏面，在50%概率下至少不會(huì)虧本的,，可為什么最后會(huì)輸光,？

助理李永樂(lè)同學(xué)再一次教導(dǎo)我，你以為自己看到了50%的概率,，把游戲看得透徹明白,，殊不知，你看到了

概率

,，卻沒(méi)有看到背后的

陷阱：大數(shù)定律,。

04

大數(shù)定律：

貌似公平的陷阱

一正一反，均為50%概率,，按照大數(shù)定律來(lái)說(shuō)，這是

必然規(guī)律

,。然而,，你有沒(méi)有想過(guò)，正是這種表面上的“公平”,，讓你

誤解了大數(shù)定律,，最終陷入了“賭徒謬論”,？

先來(lái)看看這種讓你覺(jué)得“公平”的大數(shù)定律究竟是什么。它是數(shù)學(xué)家伯努利提出的：

假設(shè)n是N次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),，p是每一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率,，那么，當(dāng)N趨于無(wú)窮時(shí)：

[圖片]

式中n表示發(fā)生次數(shù),，N表示試驗(yàn)總次數(shù),。

也就是說(shuō)，大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象里其實(shí)藏著某種必然規(guī)律,。

還是以擲硬幣為例,，當(dāng)投擲次數(shù)足夠大時(shí)，出現(xiàn)正（反）面的頻率將逐漸接近于1/2,，且隨著投擲次數(shù)的增加,，偏差會(huì)越來(lái)越小，如下圖,。這是最早發(fā)現(xiàn)的大數(shù)定律之一,。

▲擲硬幣頻率分布圖

從表面概率看，這確實(shí)是場(chǎng)公平的游戲,。但這種公平是有一定條件的,，注意，這就是普通人看不到的,。大數(shù)定律講究

“大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象”

,，只有

足夠多次

試驗(yàn)才能使得硬幣正反面出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)之比幾乎等于

1/2

。

圖片來(lái)源：李老師的西瓜視頻教程

可具體多少次才算“足夠多”,？才能夠把它用在個(gè)人對(duì)賭上,？沒(méi)有人知道。因?yàn)?，概率論給出的答案是——無(wú)窮大,。

可投擲硬幣次數(shù)越小，大數(shù)定律的身影就越模糊,，可能10次中5正5反,，也可能9正1反，也可能10正0反或0正10反……

現(xiàn)實(shí)往往是,，在遠(yuǎn)未達(dá)到“足夠多”次試驗(yàn)時(shí),，你就已經(jīng)輸了個(gè)精光了。你覺(jué)得自己比賭場(chǎng)更有錢嗎,？

把“大數(shù)定律”當(dāng)“小數(shù)定律”,，這種在潛意識(shí)里被奉為圭臬的“公平”，讓你踏入了

“賭徒謬論”

,。

所以,，這種與賭場(chǎng)比拋硬幣的游戲萬(wàn)萬(wàn)是不能玩的,。

05

虛擬模型

如何獲得安全的最高收益

又學(xué)會(huì)了一點(diǎn)知識(shí)，禁不住有點(diǎn)小得意,。實(shí)在是等不及了,，現(xiàn)在就要去拉斯維加斯當(dāng)賭王。

阻止一個(gè)想賭徒實(shí)在太難,，想要阻止一個(gè)想當(dāng)賭王的賭徒是難上加難,。但無(wú)論如何，作為一個(gè)合格的助理,，他必須講出最后的賭場(chǎng)秘密,。如果一定要去賭的話，一定要研究下面這個(gè)數(shù)學(xué)模型,，才能走上賭王之路,。

先假設(shè)了一個(gè)博彩模型（特別聲明一下，這只是假設(shè)模型,，實(shí)際上不會(huì)有這么好的賭徒賠率）：

一個(gè)1賠2（不包括本金）的簡(jiǎn)單賭局,，扔硬幣下注，假設(shè)賭注為1元,，硬幣如果為正面則凈贏2元,，如果為反面則輸?shù)?元。現(xiàn)在你的總資產(chǎn)為100元,，每一次的押注都可投入任意金額,。

你會(huì)怎么賭呢？已知擲硬幣后正反面的概率都為50%,，賠率是1賠2（不包括本金）,，那么這個(gè)賭局其實(shí)只要耐心去下注，從數(shù)學(xué)上講那是穩(wěn)賺不賠的賭局,。但

實(shí)際情況卻可能會(huì)有偏差,。

如果你是冒險(xiǎn)主義者

要玩就玩票大的，All In,！一次性把100元全押上,，幸運(yùn)的話一次就獲得200元。

如果輸了,，100元資產(chǎn)拱手獻(xiàn)給對(duì)方,。好不容易來(lái)趟拉斯維加斯，這肯定不是明策,。

如果你是保守主義者

你可能會(huì)想,，謹(jǐn)慎點(diǎn)，百分之一慢慢來(lái)。

你每次只下注1元,，正面贏2元，反面輸1元,。

玩了20把突然覺(jué)得,，對(duì)方下注10元一次就贏得20元，自己1次才贏2元,、10次才能贏得20元,，感覺(jué)自己已經(jīng)錯(cuò)過(guò)幾個(gè)億而開(kāi)始后悔！

圖片來(lái)源：李老師的西瓜視頻教程

那到底該以多少比例下注才能獲得

最大收益

,？這貌似無(wú)常的賭局,，真的有

數(shù)學(xué)規(guī)律

嗎？

是的,，后面隱藏著一個(gè)

數(shù)學(xué)秘密：凱利公式

卻能夠算出答案：利用這個(gè)公式計(jì)算后,，你每次下注比例為

當(dāng)時(shí)總資金的25%

，這樣就能獲得最大收益,。

真的嗎,？賭徒的熱血已經(jīng)沸騰了。

06

賭場(chǎng)的數(shù)學(xué)秘密：

凱利公式

讓我們來(lái)看看凱利公式的廬山真面目：

在公式中,，各參數(shù)意義為：

f=應(yīng)投注的資本比例,；

p=獲勝的概率（也就是拋硬幣正面的概率）；

q=失敗的概率,，即(1-p)（也就是硬幣反面的概率）,；

b=賠率，等于期望盈利÷可能虧損（也就是盈虧比）,；

公式上面的分子(bp-q)代表“贏面”,，數(shù)學(xué)中叫“期望值”。

什么才是

不多不少

的合適賭注呢,？凱利告訴我們要通過(guò)選擇

最佳投注比例

,，才能長(zhǎng)期獲得

最高盈利

。

回到前面（第五節(jié)）提到的例子中,，硬幣拋出正反面的概率都是50%,，所以p、q獲勝失敗的概率都為0.5,，而

賠率＝期望盈利÷可能虧損=2元盈利÷1元虧損

,，賠率就是2，我們要求的答案是f,，也就是

(bp-q)÷b=(2*50%-50%)÷2=25%,。

圖片來(lái)源：李老師的西瓜視頻教程

由此，我們根據(jù)凱利公式的計(jì)算而得投注比例，在這個(gè)博彩賠率里,，我每次都拿出當(dāng)前手中資金的25%來(lái)進(jìn)行下注,。設(shè)初始資金為100，硬幣為正面時(shí)收益為投注的2倍,，為反面則失去投注金額,。在以下兩個(gè)表中，我們模擬計(jì)算了10次賭局的收益情況,。

▲表1-25%投注下10次收益表

▲表2-25%投注下10次收益表

表1從先正后反的情況計(jì)算了收益,，表2則計(jì)算了正反分布交錯(cuò)情況下的收益結(jié)果。比較兩表最終可以發(fā)現(xiàn)其收益是相等的,，硬幣出現(xiàn)正反面的先后順序?qū)τ谧罱K收益的計(jì)算結(jié)果并無(wú)影響,。

而按25%的投注比例進(jìn)行投注，收益基本呈現(xiàn)穩(wěn)步增長(zhǎng)的大趨勢(shì),。

但假設(shè)投注比例為100%時(shí),，10次當(dāng)中只要出現(xiàn)任意一次的反面，就會(huì)徹底輸光身上的所有錢,，直接出局,，且每輪反面概率還為50%；

而每次1元1元地投注,，也就是投注比例為1%的時(shí)候,，10次數(shù)學(xué)上的收益為100+10×50%×2+(-1)×10×50%=105，這風(fēng)險(xiǎn)很小,，不過(guò)收益太低,。

由此看來(lái)，凱利公式才是真正理解了賭博的人兒啊,。

07

賭徒困境：

你的期望值是負(fù)值

以上舉的1賠2的例子,，是一個(gè)虛擬模型。這個(gè)數(shù)學(xué)模型,，對(duì)賭徒是非常有利的,。

因?yàn)楦鶕?jù)f=(bp-q)/b公式，

(bp-q)÷b=(2*50%-50%)÷2=25%,。

這個(gè)結(jié)果（又叫期望值）是一個(gè)正數(shù),，賭徒可以利用凱利公式獲得收益。

然而,，實(shí)際的

賭博游戲

中,，幾乎都是對(duì)賭徒

不公平

的游戲。也就是說(shuō),，這個(gè)模型是

反過(guò)來(lái)的

,，

期望值

對(duì)賭徒來(lái)說(shuō)是

負(fù)數(shù)

。當(dāng)然，你表面上是

看不出來(lái)的

,，或者說(shuō)

期望負(fù)值

很低

,，賭徒很難完全感知到。

作為一個(gè)理性的賭徒,，得認(rèn)真讀完以下3條準(zhǔn)則,。

①期望值(bp-q)為0時(shí)，賭局為公平游戲,。

②期望值(bp-q)為負(fù)時(shí)，賭徒處于劣勢(shì),，更不應(yīng)下任何賭注,。

③期望值(bp-q)為正時(shí)，這時(shí)按照凱利公式投注賺錢最快,，風(fēng)險(xiǎn)最小,。

也就是說(shuō)，大部分的賭博游戲,，賭徒的期望值實(shí)際上是第②條,。把以上例子中的身份顛倒過(guò)來(lái)，也就是說(shuō)莊家在利用凱利公式同你下注,。

可見(jiàn),，這表面看來(lái)淺薄浮躁的賭場(chǎng)，其實(shí)冷靜深邃,。除了上面說(shuō)到的數(shù)學(xué)和人性,，實(shí)際上涉及經(jīng)濟(jì)學(xué)、博弈論等,。要真正深入了解這方面知識(shí),，還有很多深?yuàn)W的學(xué)問(wèn)，涉及到

馬爾科夫鏈,、二項(xiàng)分布,、遞推公式

等等。

幸好有李永樂(lè)小助理,，搜他,，搜他，這家伙可真是個(gè)寶藏寶寶,。

這位數(shù)學(xué)小助理——“李永樂(lè)老師”,，現(xiàn)在是西瓜視頻獨(dú)家創(chuàng)作人，之后他的科普視頻更新只能在西瓜視頻看到,。

結(jié)

贏家法則是“不賭”

誰(shuí)都逃不過(guò)“賭徒破產(chǎn)困境”

有人可能說(shuō),，我又不是與賭場(chǎng)對(duì)賭，我只要贏了對(duì)手就行了?？蔁o(wú)論是你還是對(duì)方,，或明或暗都是要給賭場(chǎng)“抽水”的。也許抽水只有小小的2%,，但賭的時(shí)間一長(zhǎng),，都是在給賭場(chǎng)打工。在莊的眼里,，賭徒永遠(yuǎn)有一個(gè)逃不開(kāi)的魔咒：

賭徒破產(chǎn)困境,。

▲賭徒破產(chǎn)定理模擬圖

當(dāng)然，沒(méi)有誰(shuí)能說(shuō)服一個(gè)

墮落的賭徒

,，李永樂(lè)也不能,，因?yàn)檫@是

人格的缺陷

。但如果你還是一個(gè)具有

理性精神的人

,，就別再迷戀運(yùn)氣,。

賭徒能夠依靠的是祖宗保佑，而賭場(chǎng)后面的大佬是

高斯,、凱利,、伯努利這樣的數(shù)學(xué)大神。

你很難贏得了莊家,。

所以，還是去西瓜視頻看看“李永樂(lè)老師”的視頻,。

論理性,，沒(méi)有人能比賭場(chǎng)老板更理性。

論數(shù)學(xué),，沒(méi)有人能比賭場(chǎng)老板請(qǐng)的專家更精通數(shù)學(xué),。

論賭本，沒(méi)有人能比賭場(chǎng)老板的本錢更多,。

世上有太多人還在心存僥幸,，告訴他唯一的答案。如果要想真正贏得人生這場(chǎng)賭局,，法則只有一個(gè)：

不賭

,。