如果黎曼猜想被證明是正確的,，那么它就表明素?cái)?shù)沒有什么突出的規(guī)律,，也就是說它們幾乎具有均勻的隨機(jī)性,。如果黎曼猜想得到證明,，它可以說是驗(yàn)證了從1到n中平均有N/ln(N)個(gè)素?cái)?shù),，因此素?cái)?shù)基本上是按照N/ln(N)的均勻分布。注意這里的N/ln(N)只是代表我們機(jī)器學(xué)習(xí)中常見的數(shù)學(xué)期望,，并不能說確切地等于N/ln(N)個(gè)素?cái)?shù)?？傊绻鸄tiyah證明了黎曼猜想，那么素?cái)?shù)還必須服從大數(shù)定理,，這可能對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)的研究能有一些幫助,。

Atiyah的證明從理解物理學(xué)中的精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α出發(fā)，并發(fā)現(xiàn)依靠新的函數(shù)T(s)（也就是Todd函數(shù)），我們可以解決或至少為解決各種廣泛的問題提供新方向,，包括黎曼猜想,。在整個(gè)演講中,，Atiyah首先介紹了復(fù)數(shù)的不可交換延伸：四元數(shù)（Quarternions）,、復(fù)數(shù),、擴(kuò)展歐拉公式到四元數(shù)（Euler-Hamilton公式）這些基礎(chǔ)概念,，它們是進(jìn)一步提出新工具和證明方法的前提。

隨后Atiyah重點(diǎn)介紹了證明黎曼猜想的核心新工具，即Todd多項(xiàng)式函數(shù),，借助這一函數(shù)與指數(shù)的無限迭代,，我們可以理解精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α并嘗試最終的黎曼猜想證明,。其中精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α是物理學(xué)中的無量綱常數(shù),，它展示了原子物理學(xué)中原子譜線分裂的樣式。

對(duì)于證明黎曼猜想的核心 Todd function T(s) 函數(shù),，Atiyah 在文檔中給出了一些有趣的屬性：

T是實(shí)數(shù),，即T(sˉ)=T(s)ˉ；

T(1)=1,；

T會(huì)將臨界帶映射到臨界帶,，臨界線映射到臨界線。

Atiyah將Todd函數(shù)稱為弱解析函數(shù),，這意味著它是解析函數(shù)族的弱限制,。所以對(duì)于任何復(fù)數(shù)中的緊致集K，T都是解析的,。如果K是凸集,，那么T是自由度為K(k)的多項(xiàng)式函數(shù)。Todd函數(shù)同樣是復(fù)合的,，即弱解析函數(shù)的解析函數(shù)還是解析函數(shù),。

對(duì)于如何借助Todd函數(shù)證明黎曼猜想,，讀者還是研讀那一頁P(yáng)PT吧：