中國女?dāng)?shù)學(xué)家首個(gè)菲爾茲獎要來了,？？

就在最近,，數(shù)學(xué)大佬陶哲軒激動宣布：困擾數(shù)學(xué)家上百年的經(jīng)典難題——掛谷猜想（Kakeya猜想）,，被北大校友王虹及哥大數(shù)學(xué)副教授Joshua Zahl在三維空間中證明了。

根據(jù)陶哲軒的科普,，三維Kakeya猜想斷言：

一個(gè)包含每個(gè)方向上單位長度線段的集合（Kakeya集）,，在三維空間中必須具有Minkowski和Hausdorff維度等于三。（具體下文再詳細(xì)展開）

雖然看起來只有一句話,，但這個(gè)問題卻與調(diào)和分析,、數(shù)論等多個(gè)數(shù)學(xué)分支有著緊密聯(lián)系，因此一直以來吸引了無數(shù)數(shù)學(xué)家競相攻克,。

現(xiàn)在,，北大校友王虹和Joshua Zahl用127頁論文證明了這一說法。

這事兒馬上在國內(nèi)引發(fā)諸多熱議,。

有人表示,，一旦上述arXiv預(yù)印本通過審稿，憑借這一突破,，王虹成為了2026年菲爾茲獎的熱門人選,。

要知道，菲爾茲獎是國際數(shù)學(xué)界最負(fù)盛名的獎項(xiàng)之一,，被稱為數(shù)學(xué)界的“諾貝爾獎”,。

它旨在表彰那些在數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出杰出貢獻(xiàn)的年輕數(shù)學(xué)家（40歲以下）。該獎項(xiàng)每四年頒發(fā)一次,，通常在國際數(shù)學(xué)大會（International Congress of Mathematicians, ICM）上宣布獲獎?wù)摺?/p>

根據(jù)平樂縣宣傳部的一則報(bào)道，王虹出生于1991年,，如今只有34歲,。如果她能夠獲獎，將實(shí)現(xiàn)“首位中國籍女性數(shù)學(xué)家獲菲爾茲獎的成就”,。

Kakeya猜想：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)典難題

首先,，Kakeya猜想由日本數(shù)學(xué)家掛谷宗一（Sōichi Kakeya）于1917年提出，也被稱為掛谷猜想,。

這個(gè)問題的原型是：一位武士在上廁所時(shí)遭到敵人襲擊,，矢石如雨，而他只有一根短棒，為了擋住射擊,，需要將短棒旋轉(zhuǎn)一周360°（支點(diǎn)可以變化）,。但廁所很小，應(yīng)當(dāng)使短棒掃過的面積盡可能小,。面積可以小到多少,？

轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)即為：當(dāng)一根無限細(xì)的針向所有可能的方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以掃過的最小面積是多少,？

△圖源：Merrill Sherman|Quanta

數(shù)學(xué)家將這些排列稱為Kakeya集,，在三維空間中，Kakeya集包含了從所有方向都能看到的一根短線（單位長度的線段）,，而三維Kakeya猜想斷言：

即使Kakeya集（R3）可能看起來非常稀疏,，因?yàn)樗鼈兪怯梢幌盗械木€段軌跡組成的，但其Minkowski維度和Hausdorff維度都等于3,。

其中Minkowski維度也被稱為“盒子維度”,，通過不斷縮小覆蓋Kakeya集的結(jié)構(gòu)（如使用盒子或球體），可以計(jì)算出在不同尺度下覆蓋集合所需的數(shù)量與尺度大小的關(guān)系,。

而Hausdorff維度則更精細(xì),，它考慮了更細(xì)致的覆蓋方式，允許使用不同大小和形狀的集合來覆蓋Kakeya集,，并通過這些覆蓋的最小化程度來定義維度,。

當(dāng)這兩個(gè)維度均為3，從數(shù)學(xué)的角度來看,，這些集合在幾何上與整個(gè)三維空間相同,，它們在某種意義上填滿了空間的大部分。

換句話說,，盡管這些集合的外觀可能非常稀疏,，但它們實(shí)際上在幾何上具有與整個(gè)空間相同的“體積”或“大小”。

以上說法轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：使用小尺度參數(shù)（0<<1）,，考慮一個(gè)由xx1的管子組成的集合,。

這里的管子可以看作是一種細(xì)長的三維幾何體，其橫截面是邊長為的正方形,，長度為1,。集合中的管子數(shù)量大致為≈-2，并且這些管子的指向是在一個(gè)-分離的集合方向上,。

所謂-分離,，意味著任意兩個(gè)管子的方向之間的夾角至少為,。通過這樣的方式,，將連續(xù)的,、復(fù)雜的Kakeya集問題,，轉(zhuǎn)化為對這些離散的、具有特定尺度和方向分布的管子集合的研究,。

而猜想在這種離散化情況下,，這些管子的并集U?的體積應(yīng)該大約為1。

為了簡化證明過程,，論文引入了幾種簡化假設(shè),。例如，假設(shè)管集合是“粘性的”,，即它們在多個(gè)尺度上保持相似的結(jié)構(gòu),。

基于此，該領(lǐng)域先前研究集中于形式為下界的研究（集合的最小可能維數(shù)）：

具體而言,，在三維空間中,，對于各種介于(0<d<3)之間的維數(shù)，人們期望d盡可能大,。

早期研究中,，人們陸續(xù)證明了d=1（僅考慮單管）、d=2（結(jié)合L2論證與線相交性質(zhì)）,、d=2.5（1995年Wolff梳子論證）的情況,。

對維度參數(shù)d進(jìn)行歸納直到最近，王虹,、Joshua Zahl二人證明了d=3的情況,。

概括而言，他們采用的證明策略十分復(fù)雜,，通過引入非聚集條件,、Wolff公理、多尺度分析等技術(shù)來進(jìn)行了一系列論證,。

這里我們直接看陶哲軒幫忙總結(jié)的關(guān)鍵技術(shù)環(huán)節(jié)：他們證明的總體思路是對維度參數(shù)d進(jìn)行歸納,。

他們先定義了一種情況K(d)，目標(biāo)是通過數(shù)學(xué)推導(dǎo),，證明對于處于一定范圍的維度參數(shù)d,，存在一種能從K(d)推導(dǎo)出K(d+)的關(guān)系，其中是一個(gè)大于0且和d有關(guān)的數(shù),。

PS：K(d)是指對于所有尺寸為xx1,、方向?yàn)榉指舻募s-2個(gè)管子的配置，不等式（1）成立,。

通過不斷重復(fù)這個(gè)推導(dǎo)過程，讓維度參數(shù)d逐漸接近3,。

具體來說,，他們核心使用多尺度分析技術(shù)，對于管子的集合及其組織結(jié)構(gòu)進(jìn)行了深入研究。

他們對粗細(xì)管進(jìn)行了分組,，并將細(xì)管組合成粗管,。因?yàn)榧?xì)管的方向具有特定的分布性質(zhì)，所以每個(gè)粗管能容納的細(xì)管數(shù)量是有限的，相應(yīng)地,，要覆蓋所有細(xì)管就需要一定數(shù)量的粗管,。

然后，基于K(d)定義下的不等式,，他們計(jì)算出了粗管的總體積下限，再結(jié)合之前計(jì)算粗管總體積的方法和結(jié)果,，進(jìn)一步分析出了粗管的一個(gè)特殊屬性——“多重性”,。

這是指在粗管占據(jù)的空間里，管子分布的一種密集程度或重疊程度,。

接下來，通過對粗管里的細(xì)管進(jìn)行縮放,，并再次結(jié)合K(d)定義下的不等式，他們得出了縮放之后細(xì)管的多重性。

綜合上述粗管和細(xì)管多重性的信息，理論上就能得出所有細(xì)管集合的多重性范圍,。

結(jié)果是,，在一種叫做“粘性”（sticky）的特殊情況下,，他們發(fā)現(xiàn)得到的結(jié)果和一開始想要證明的不等式相符,。

這里補(bǔ)充一下，“粘性”是指在某些尺度下，管子彼此緊密貼合,，形成了所謂的“發(fā)際”（hairbrush）結(jié)構(gòu),。

另外,，在處理非粘性情況時(shí)，他們引入了“粒狀化”（graininess）理論,，這是對集合內(nèi)部結(jié)構(gòu)的一種描述，它可以幫助理解集合如何在不同尺度上組織。

由于在“非粘性”情況下,，粗管和細(xì)管的配置出現(xiàn)了不平衡,，沒辦法直接使用前面的K(d),，于是他們考慮了一個(gè)特殊集合（加厚的Kakeya集）和一個(gè)球的相交情況,。

如果K(d)成立,，那么這個(gè)特殊集合可能會表現(xiàn)得像某種維度的分形,；要是這個(gè)特殊集合在某個(gè)尺度下比預(yù)期的更密集,，結(jié)合這個(gè)特殊集合的鄰域體積和球的體積進(jìn)行分析,，就能得到一個(gè)新的結(jié)論,。

而這個(gè)結(jié)論就是他們期望證明的K(d+),，這個(gè)特殊的密集情況也被看作是一種“Frostman測度違反”,。

除此之外，研究還涉及到了對 “Katz-Tao Convex Wolff axioms” 的應(yīng)用,，這是一組描述管子集合行為的假設(shè),，它們在證明中作為歸納假設(shè)使用,。

更多細(xì)節(jié)可查看原論文。

16歲考入北大,，轉(zhuǎn)專業(yè)來到數(shù)學(xué)系

這項(xiàng)研究的作者一共只有兩位：王虹和Joshua Zahl,。

其中北大校友王虹目前是紐約大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授。

她1991年出生于廣西桂林平樂縣,，小學(xué)期間連跳兩級,，

16歲時(shí)以653分考入北京大學(xué)地球與空間物理系，后轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)系,，2011年獲得學(xué)士學(xué)位,。

2014年獲得巴黎綜合理工學(xué)院工程師學(xué)位和巴黎第十一大學(xué)碩士學(xué)位。2019年博士畢業(yè)于麻省理工大學(xué),，師從Larry Guth,。

2019-2021年是普林斯頓高等研究院的博士后成員；2021-2023年在加州大學(xué)洛杉磯分校擔(dān)任助理教授,。

主要的研究方向?yàn)楦道锶~變換相關(guān)問題,。

例如，如果我們知道一個(gè)函數(shù)的傅里葉變換在某些曲線物體上有定義,，比如球面,，或者在一些“彎曲”的離散點(diǎn)集合上有定義，那我們可以對這個(gè)函數(shù)做出什么樣的判斷,？如何以一種有意義的方式將這個(gè)函數(shù)分解成若干部分（這與解耦理論有關(guān)）,？事實(shí)證明，這類問題還與Falconer距離問題和交點(diǎn)幾何學(xué)有關(guān)，我對這些關(guān)聯(lián)也很感興趣。

另一位作者為Joshua Zahl,。他現(xiàn)在是不列顛哥倫比亞大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授,。

主要研究方向?yàn)楣诺涓道锶~分析和組合學(xué),。對交點(diǎn)幾何學(xué),、限制問題和Kakeya問題非常感興趣,。