100個紅綠球,，讓2萬人集體翻車,，數(shù)學(xué)家「罐中難題」引爆全網(wǎng)討論

這道100個紅綠球的「罐中謎題」，兩萬多人中僅有20%能答對,？這位數(shù)學(xué)家為我們揭示了,，為何概率推理謎題如此反直覺的原因。現(xiàn)在,，這些已經(jīng)掀起全網(wǎng)大討論,，它們絕不僅僅是腦筋急轉(zhuǎn)彎，甚至還催生出了數(shù)篇學(xué)術(shù)論文,！

一道看似簡單的概率謎題,，竟然讓80%的人都做錯了？

這道題如下——

你有一個裝有100個球的罐子,，罐子看不到里面,，其中有n個紅球，「100-n」個綠球,。n為「0,100」之間的一個隨機(jī)數(shù),。你伸手進(jìn)入罐子并取出一個球，它是紅色的,，把它扔掉后,，如果你現(xiàn)在再取出一個球，它更有可能是紅色還是綠色,？或者兩種顏色的可能性是相等的,？100個紅綠球，讓2萬人集體翻車,，數(shù)學(xué)家「罐中難題」引爆全網(wǎng)討論,！

目前，已經(jīng)有兩萬多人對這道題進(jìn)行了投票,，但是,，只有22%的人做對了。

你的答案是什么,？請等待后文公布正確答案,。

今年1月份，當(dāng)數(shù)學(xué)家Daniel Litt在網(wǎng)上發(fā)出這道題后，引爆了眾多數(shù)學(xué)家,、計(jì)算機(jī)科學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家的解題熱情,！

有研究者聲稱，自己如此沉迷于這道題,，以至于正經(jīng)研究都無心去做了

甚至,，還有一些哲學(xué)家、金融家,、體育分析師參與了進(jìn)來,。

甚至，這道謎題還催生了一系列相關(guān)論文,，來探討謎題背后的數(shù)學(xué)意義,！

論文地址：https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/MihaiNicaAliceBob.pdf

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.16660

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2406.20049

可以說，這道在線謎題真正凸顯了腦筋急轉(zhuǎn)彎對于大眾的持久吸引力,。

而且,，它還展示出了我們數(shù)學(xué)直覺的局限性，以及概率推理的反直覺性,。

Litt表示,，沒有什么比出一道多項(xiàng)選擇題更令人興奮的了，而且50000人的成績甚至比隨機(jī)選擇的還要差

這道題,，究竟為什么如此反直覺,？為什么簡單的概率問題，會如此出人意料地困難,？

讓我們仔細(xì)討論一下,，是什么造就了一個偉大的謎題。

選中紅球,，下一個球是什么,？

話說回來，在這道罐子謎題中,，你的答案是什么,？

下面公布正確答案——紅色。

怎么樣,，的確十分反直覺吧,。

為什么答案不是綠色，或二者概率相等呢,？

Litt表示,，這位來自倫敦的數(shù)學(xué)研究者George Lowther的解釋，給出了自己最為喜歡的思考方式——

想象一下,，一開始有101個球排成一行,，而非100個球,，再隨機(jī)挑選一個球。

然后,，把它左邊的球涂成綠色，右邊的球涂成紅色,，再把手里的球扔掉,，便剩下100個球。

然后,，隨機(jī)選擇第二個球,，這個球?qū)?yīng)原問題中的第一個球。問題告訴你,，你選了一個紅球,，所以它在你扔掉的球的右邊。

現(xiàn)在挑選第三個球,，這個球有三種可能的位置：

1）在第一個球的左邊

2）在第一個球和第二個球之間

3）在第二個球的右邊

在這三種可能性中,，有兩種情況下，第三個選中的球是紅色的,。所以球是紅色的概率是2/3,。

另一位統(tǒng)計(jì)學(xué)博士Jonatan Pallesen提出了一個很好的啟發(fā)性解釋：

如果你去釣魚，并很快釣到一條魚,，便會期望湖里有更多的魚,。同樣，如果你已經(jīng)拿到一個紅球,，這表明罐子里有很多紅球,。

「反直覺陷阱」，為何如此有迷惑性

不過,，這一問題恰恰反映出了一個反直覺的陷阱,。

按理說，如果拿出了一個紅球,，那么甕中紅球的數(shù)量就減少了,，所以下一個球就更有可能是綠色的。

很多人都是這么想的,，然而,，這是一個錯誤的直覺！

許多人堅(jiān)持認(rèn)為,，因?yàn)榧t球數(shù)量減少,，所以下一個球更有可能是綠色的。

Litt對此表示,，「他們不愿意接受數(shù)學(xué)論證,，但對模擬結(jié)果更具信服力」,。

其實(shí)，這是一個隨機(jī)選擇的概率,，但從中獲得的信息,，會影響我們對后續(xù)事件概率的判斷。

一些參與者驚訝道,，如此顯而易見的答案,，竟有很多人沒有發(fā)現(xiàn)。

我確實(shí)感到驚訝的是,，我們在這類問題上表現(xiàn)得如此糟糕,，因?yàn)楦怕逝c現(xiàn)實(shí)世界的活動有著如此明顯的相關(guān)性。我們必須不斷地觀察世界并評估可能性,，然后決定行動方案,。

或許這個問題確實(shí)對于一些專業(yè)人士來說，的確輕而易舉,。但多數(shù)人還是會掉入陷阱,，為什么對他們來說，這道題會如此困難,？

Litt認(rèn)為,，關(guān)鍵點(diǎn)在于初始設(shè)置中的概率分布。

也就是說,，罐子問題是完全依賴于,，紅球數(shù)量是根據(jù)所謂的均勻分布（即從甕中抽取）來選擇的,。

當(dāng)抽出的是一個紅球,，告訴你的信息是，自己處于一個「紅色的世界」中,，但也只是因?yàn)長itt這樣設(shè)置的問題,。

但若是，根據(jù)二項(xiàng)分布來選擇球的顏色——即通過拋硬幣來選擇每個球的顏色,。

那么,，即便你知道了第一個球是紅色的，但對下一個球來說,，沒有什么含義,，進(jìn)而不會影響后續(xù)抽取概率。

修改起始分布非常容易,，這樣就能獲得紅色,、綠色、或可能性等同的三種答案中的一種,。

如果調(diào)整分布,，就會完全改變答案,，因此，一個人的直覺必須對問題的設(shè)置非常敏感,，這才是解決此類問題的關(guān)鍵,。

對此，Litt設(shè)計(jì)了一系列罐子問題,，每一個都是為了打敗某人為之前某個變體提出的啟發(fā)性解釋而設(shè)計(jì)的,。

所以說，很難想出能夠檢測到這些細(xì)節(jié)的啟發(fā)性方法,。

其實(shí),，在現(xiàn)實(shí)世界中,，我們在概率計(jì)算上,，并非那么擅長。

但在生活中,，有些活動卻與概率問題息息相關(guān),。我們通過不斷觀察世界，評估概率,，然后再做出行動方案,。

Litt稱，雖然我不是心理學(xué)專家,，但人們在考慮問題各個方面,，都會變現(xiàn)出規(guī)避風(fēng)險，由此會系統(tǒng)地高估了/低估了極不可能發(fā)生事件的概率,。

在線謎題,，萬人參戰(zhàn)

一直以來，Litt專注于研究代數(shù)幾何和數(shù)論交集的領(lǐng)域,，而在概率論方面,，他還只是業(yè)余愛好者。

過去,，他參加了一些有關(guān)概率的講座,，并激發(fā)出極大的興趣，躍躍欲試,。

Litt表示,，「雖然概率論與日常的數(shù)學(xué)思考內(nèi)容，相去甚遠(yuǎn),，但也涉及到了自己一些相對熟悉的東西」,。

閑暇時候，他會提出一些簡單的概率問題,。

當(dāng)自己發(fā)現(xiàn)得到了一個很酷,、且反直覺的答案時,，便會將謎題發(fā)在X上，讓大家一起破解,。

人們喜歡在社交媒體上吐槽,，Litt的謎題下面，也逐漸成為大家討論的社區(qū),，構(gòu)建起一個概率圈的生態(tài)系統(tǒng),。

之所以在X上討論數(shù)學(xué)，是因?yàn)?020年疫情期間,，Litt感到非常孤獨(dú),，便發(fā)現(xiàn)在社交媒體中，與隨機(jī)的人聊自己喜歡的主題可以獲得快樂,。

在Litt看來,，即便是拋硬幣這種最基本的概率事件，也會產(chǎn)生有趣的問題,。

就比如,，前段時間，他發(fā)布的有關(guān)擲硬幣的一個謎題,，便吸引了2萬多人參與討論,。

還有另一個改版的同類謎題，更是得到近5萬位網(wǎng)友的投票,。

下一個謎題：拋硬幣

下面這道拋硬幣難題,，被Litt稱為自己最喜歡的謎題。

而且,，僅有10%的參與者答對了,，比例低到驚人！

Alice和Bob各拋硬幣100次（正面是H,，反面是T）,。每當(dāng)連續(xù)出現(xiàn)兩個正面HH時，Alice得1分,；出現(xiàn)正反面HT時,，Bob得1分。因此,，現(xiàn)在,，二人已經(jīng)得到了「THHHT」，因此Alice得2分,，Bob得1分,，最后誰更有可能獲勝？

有人對此推理的是,，如果列出100次拋硬幣的所有不同結(jié)果,，并計(jì)算出Alice和Bob的分?jǐn)?shù),。他認(rèn)為每個人總分相同。

因此,，他們預(yù)期的答案是二者相同,。

但事實(shí)證明，Bob獲勝的可能性更大,！這是為什么,？

顯然，人們的直覺又在作祟了,。

一個直覺是,，Alice可以在短時間內(nèi)得很多分。例如,，在連續(xù)出現(xiàn)正面HHHHHHH情況下,，她在第一次之后的每次拋擲中都得分。

在100次拋擲中,，Alice的分?jǐn)?shù)可以高達(dá)99,，但Bob最多只能得50分,。

所以Alice會以壓倒性的優(yōu)勢獲勝,，這意味著她在游戲中浪費(fèi)了一些期望得分。

相較之下,，Bob可能會贏得更多比賽,，但每次獲勝優(yōu)勢較小。通過模擬驗(yàn)證,，可以證明這個結(jié)果是正確的,。

不確定的是，如果改變游戲規(guī)則的話,，這個啟發(fā)性的方法是否成立,。

而且，Litt表示,，我不知道是否存在一個證明,，能夠完全解釋這種現(xiàn)象，特別是一個適用于任意次數(shù)翻轉(zhuǎn)的證明,。

概率論家,、數(shù)學(xué)博士發(fā)論文

對于自己所出的概率題，Litt也做了一個證明,，但僅是一個復(fù)雜,，且缺乏理論的論證。

而真正讓他興奮的是,，這些謎題在一大波專業(yè)人士中,，掀起了熱議,。

一位數(shù)學(xué)博士Sridhar Ramesh收集了一些漂亮的論證。

他將拋硬幣問題比作成一個「隨機(jī)行走」的問題,，其中向上和向下的步驟概率相等,，但速度分布不同。

從中可以獲得的關(guān)鍵觀察是,，返回原點(diǎn)所需的時間,，與第一步向上還是向下無關(guān)。

因?yàn)榉聪驁?zhí)行相同的步驟,，也有相同的概率,。

由此，可以得出,，對于任何固定的行走時間,，最后一步離開原點(diǎn)的方向（向上或向下）的概率是相等的。

那么,，再將這個觀察應(yīng)用到硬幣游戲中：

-HH相當(dāng)于一個單位時間的「向上」步驟

- HT^n H相當(dāng)于n+1個單位時間的向下步驟

這意味著,，游戲結(jié)束時，我們同樣可能在原點(diǎn)之上（Alice贏,，或者存在一個可能讓游戲平局HT^n H的中間步驟）,，或原點(diǎn)之下（Bob贏）。

如果游戲由HHT,，后面全是T組成,，有可能會平局。

由于可能在HT^n H步驟的中間結(jié)束,，（在給Bob一個使游戲平局的分?jǐn)?shù)后,，但在返回到H之前），而不可能在HH的中間結(jié)束,，所以Alice獲勝的可能性比Bob小,。

Litt還表示，有一大類問題是從最初拋硬幣問題中衍生出來的,。

對于這些問題,，很多人提出了不錯的論證，但他個人仍然覺得,，無法實(shí)現(xiàn)直觀的理解,。至少從業(yè)余觀點(diǎn)來看，其中有很多令人驚訝的有趣的數(shù)學(xué),。

另有一位來自羅格斯大學(xué)教授Doron Zeilberger,，在這些問題中發(fā)現(xiàn)了有價值的內(nèi)容，并發(fā)表了論文。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.13561

論文中,，Zeilberger編寫了一個軟件包,，用于分析這類概率問題的長期行為。

比如,，他的程序可以證明在n次拋擲后（當(dāng)n非常大時）,，平局的概率大約是1/√n乘以某個明確的常數(shù)。

他還計(jì)算了一些稱為「矩」的量,。

當(dāng)你查看Alice和Bob的得分之間的所有可能差異,，這些差異的平均值為0，這也是使其成為一個難題的部分原因,。

但你也可以計(jì)算「二階矩」,，即對差異的平方求平均值，以及「三階矩」,，即對差異的立方求平均值等等,。

Zeilberger和數(shù)學(xué)家Mihai Nica提出了一個猜想，即僅僅知道二階和三階矩,，就足以確定誰贏得更多的比賽,。

不過，Litt認(rèn)為,，這一點(diǎn)尚未完全證明,。

而現(xiàn)在，又有后繼者,，另一位數(shù)學(xué)家Svante Janson以及Nica正在撰寫一個證明,。

答案&一道新題

以下三道題,，答案會在后面公布,。

第一題：Equally likely

第二題：HTTTH

第三題：Bob

就在剛剛，Litt又發(fā)布了一個改版的罐子問題,，你認(rèn)為答案會是哪個,？

個人介紹

Daniel Litt目前是多倫多大學(xué)數(shù)學(xué)助理教授。2019-2022年,，他也曾在佐治亞大學(xué)擔(dān)任助理教授,。

2015年，他獲得了斯坦福大學(xué)博士學(xué)位,。2018年在哥倫比亞大學(xué)擔(dān)任NSF博士后,。另外，2018-2019年,，他還是高級研究所的成員,。

總的來說，Litt對代數(shù)幾何和數(shù)論之間的相互作用感興趣，對拓?fù)鋵W(xué)也有一定的興趣,。

他的大部分工作都集中在,，使用算術(shù)技巧來研究比如復(fù)雜代數(shù)簇的經(jīng)典問題。

目前,，他的研究重點(diǎn)是,，代數(shù)簇基本群上的算術(shù)結(jié)構(gòu)，以及這些結(jié)構(gòu)和簇的幾何之間的關(guān)系,。

此外,，他本人其他感興趣方向包括，關(guān)于正性和消失性定理的問題,，代數(shù)簇的動力學(xué),，以及霍奇理論（廣義理解）。

目前,，他得到了NSERC的資助項(xiàng)目——算術(shù)和代數(shù)幾何中的Anabelian方法,，還曾是斯隆的研究獎學(xué)金獲得者，以及安大略省的早期研究人員,。100個紅綠球,，讓2萬人集體翻車，數(shù)學(xué)家「罐中難題」引爆全網(wǎng)討論,！