數(shù)學(xué)世界充滿了無法觸及的角落，那里存在著許許多多無法解決的問題?，F(xiàn)在,，又一個(gè)角落被照亮了。

1900 年,，著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)?希爾伯特（David Hilbert）公布了一份清單,，其中包含 23 個(gè)關(guān)鍵問題，并希望以此指導(dǎo)下個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究,。他的問題不僅為數(shù)學(xué)領(lǐng)域提供了路線圖,，還反映了一個(gè)更雄心勃勃的愿景 —— 建立一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),，使得所有數(shù)學(xué)真理都可以基于此推理出來。

這個(gè)愿景很宏大,，而其中的一大關(guān)鍵是假定數(shù)學(xué)是「完備的（complete）」,。也就是說，所有數(shù)學(xué)陳述都應(yīng)該可以被證明為真或假,。

1930 年代,，庫爾特?哥德爾（Kurt G?del）證明這是不可能的：在任何數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，都有既不能證明也不能證偽的陳述,。幾年后,，艾倫?圖靈（Alan Turing）等人基于他的工作，表明數(shù)學(xué)充斥著「不可判定（undecidable）」的陳述——即任何計(jì)算機(jī)算法都無法解決的問題,。

這些結(jié)果表明,，證明和計(jì)算的能力存在一些根本性限制。有些數(shù)學(xué)根本無法被人知曉,。

希爾伯特的夢(mèng)想破滅了,。但它的碎片依舊繼續(xù)存在著。他曾提出的那些問題仍會(huì)讓人想起他的愿景,，使「完備數(shù)學(xué)」的理念可在更狹窄的語境下生存,。

在這些問題中，第十問題是最主要的一個(gè),，其與丟番圖方程（又稱不定方程）有關(guān),。丟番圖方程是指有整數(shù)系數(shù)的多項(xiàng)式，例如x2+y2=5,。我們很熟悉這些方程,，而它們也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最核心的研究對(duì)象之一。幾千年來,，數(shù)學(xué)家一直在尋找它們的整數(shù)解,。例如，在這個(gè)例子中,，一個(gè)解是x=1,，y=2（因?yàn)?2+22=5）。另一個(gè)是x=2,，y=?1,。

大衛(wèi)?希爾伯特

x2+y2=3等許多丟番圖方程卻可能沒有任何整數(shù)解,。希爾伯特的第十問題是：是否總是可以判斷給定的丟番圖方程是否有整數(shù)解,。

是否存在一種算法可以確定每個(gè)方程的解，還是說這個(gè)問題是不可判定的,？也許不可能為所有數(shù)學(xué)問題找到一種完備而系統(tǒng)的求解方法 —— 甚至不可能解決希爾伯特的所有 23 個(gè)問題 —— 但對(duì)于丟番圖方程,，可能仍然存在一種求解方法,，作為希爾伯特理想的一個(gè)微縮版本。烏得勒支大學(xué)的 Peter Koymans 說：「這個(gè)問題是那個(gè)夢(mèng)想的一個(gè)非常自然的版本,?！?/p>

1970 年，一位名叫 Yuri Matiyasevich 的俄羅斯數(shù)學(xué)家打破了這個(gè)夢(mèng)想,。他的研究表明,，并不存在一種可以確定任何給定的丟番圖方程是否有整數(shù)解的通用算法——希爾伯特第十問題是一個(gè)不可判定的問題。你也許能夠構(gòu)想出一種可以評(píng)估大多數(shù)方程的算法,，但它無法適用于每一個(gè)方程,。即使在這種最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)中，也隱藏著不可知性,。

Yuri Matiyasevich，攝于 1969 年

數(shù)學(xué)家們想檢驗(yàn)Matiyasevich的結(jié)論的適用范圍,。比如如果允許丟番圖方程有復(fù)數(shù)解（可以用實(shí)部和虛部寫出的數(shù)字,，并且不限于整數(shù)）呢？在這種情況下,，每個(gè)丟番圖方程都有一個(gè)解,，而希爾伯特第十問題的答案是肯定的。但是,，在解必須是整數(shù)的方程和解可以是復(fù)數(shù)的方程之間,，丟番圖方程還存在很廣的范圍。

「對(duì)于整數(shù),，它是不可求解的,，然后當(dāng)傳遞給更大的數(shù)字系統(tǒng)時(shí)，可能會(huì)突然獲得可解性,?！构鸫髮W(xué)的 Barry Mazur 說?！傅@個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)在哪里？」

自希爾伯特第十問題被解決以來的 50 年里,，數(shù)學(xué)家們一直在尋找這個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)?，F(xiàn)在，Koymans 和他的長(zhǎng)期合作伙伴,、蒙特利爾康考迪亞大學(xué)的 Carlo Pagano 以及另一組獨(dú)立研究的團(tuán)隊(duì)朝著這一目標(biāo)邁出了重要一步,。

這兩個(gè)小組都證明，對(duì)于整數(shù)之外的大量重要數(shù)集,，同樣不存在可確定任意給定的丟番圖方程是否有解的通用算法,。

這兩項(xiàng)工作不僅讓數(shù)學(xué)家能夠更精確地了解他們能知道什么和不能知道什么,，還讓他們對(duì)數(shù)學(xué)中最核心的對(duì)象之一有了全新的控制水平。