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數(shù)學真理的極限在哪里,？希爾伯特第十問題擴展版得到證明

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2025-02-06 11:25:37  機器之心Pro

數(shù)學世界充滿了無法觸及的角落,，那里存在著許許多多無法解決的問題?，F(xiàn)在,，又一個角落被照亮了,。

1900 年,，著名數(shù)學家大衛(wèi)?希爾伯特（David Hilbert）公布了一份清單,，其中包含 23 個關鍵問題，并希望以此指導下個世紀的數(shù)學研究,。他的問題不僅為數(shù)學領域提供了路線圖,，還反映了一個更雄心勃勃的愿景 —— 建立一個堅實的基礎，使得所有數(shù)學真理都可以基于此推理出來,。


這個愿景很宏大,，而其中的一大關鍵是假定數(shù)學是「完備的（complete）」。也就是說,，所有數(shù)學陳述都應該可以被證明為真或假,。


1930 年代，庫爾特?哥德爾（Kurt G?del）證明這是不可能的：在任何數(shù)學系統(tǒng)中,，都有既不能證明也不能證偽的陳述,。幾年后，艾倫?圖靈（Alan Turing）等人基于他的工作,，表明數(shù)學充斥著「不可判定（undecidable）」的陳述——即任何計算機算法都無法解決的問題,。


這些結果表明，證明和計算的能力存在一些根本性限制,。有些數(shù)學根本無法被人知曉,。

希爾伯特的夢想破滅了。但它的碎片依舊繼續(xù)存在著,。他曾提出的那些問題仍會讓人想起他的愿景，使「完備數(shù)學」的理念可在更狹窄的語境下生存,。


在這些問題中,，第十問題是最主要的一個，其與丟番圖方程（又稱不定方程）有關,。丟番圖方程是指有整數(shù)系數(shù)的多項式,，例如x2+y2=5。我們很熟悉這些方程,，而它們也是數(shù)學領域最核心的研究對象之一,。幾千年來，數(shù)學家一直在尋找它們的整數(shù)解,。例如,，在這個例子中，一個解是x=1,，y=2（因為12+22=5）,。另一個是x=2，y=?1,。

大衛(wèi)?希爾伯特


x2+y2=3等許多丟番圖方程卻可能沒有任何整數(shù)解,。希爾伯特的第十問題是：是否總是可以判斷給定的丟番圖方程是否有整數(shù)解,。

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