數(shù)學(xué)真理的極限在哪里？希爾伯特第十問(wèn)題擴(kuò)展版得到證明(3)

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2025-02-06 11:25:37 機(jī)器之心Pro

這兩項(xiàng)工作不僅讓數(shù)學(xué)家能夠更精確地了解他們能知道什么和不能知道什么,，還讓他們對(duì)數(shù)學(xué)中最核心的對(duì)象之一有了全新的控制水平,。

論文標(biāo)題：Hilbert's tenth problem via additive combinatorics

論文地址：https://arxiv.org/abs/2412.01768

論文標(biāo)題：Rank stability in quadratic extensions and Hilbert's tenth problem for the ring of integers of a number field

論文地址：https://arxiv.org/abs/2501.18774

從整數(shù)開(kāi)始擴(kuò)展

這些新證明的核心是希爾伯特第十問(wèn)題的一種自然擴(kuò)展。該擴(kuò)展涉及的丟番圖方程的解屬于一個(gè)與整數(shù)密切相關(guān)的數(shù)字系統(tǒng)。

那么，問(wèn)題來(lái)了：是否存在一種算法，可以總是確定給定丟番圖方程的解是否屬于某個(gè)整數(shù)環(huán),？

Carlo Pagano

數(shù)學(xué)家猜想，對(duì)于每一個(gè)整數(shù)環(huán)（即無(wú)限多個(gè)數(shù)字系統(tǒng)）,，這個(gè)問(wèn)題仍然是不可判定的,。這將使該結(jié)論遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出希爾伯特第十問(wèn)題初始的整數(shù)范圍。

為了證明這一點(diǎn),，他們希望追隨原始問(wèn)題的證明腳步——僅涉及整數(shù)解的問(wèn)題,。

一般來(lái)說(shuō)，不可判定性證明（確定是否存在可以回答給定問(wèn)題的通用算法的證明）遵循相同的方法：證明相關(guān)問(wèn)題等價(jià)于計(jì)算機(jī)科學(xué)中一個(gè)著名的不可判定問(wèn)題,，即停機(jī)問(wèn)題（halting problem）,。停機(jī)問(wèn)題問(wèn)的是：對(duì)于一個(gè)理想的計(jì)算設(shè)備（稱(chēng)為圖靈機(jī)），當(dāng)給定某個(gè)輸入時(shí),，該設(shè)備將永遠(yuǎn)運(yùn)行還是最終會(huì)停止,？現(xiàn)在人們已經(jīng)知道，并不存在一個(gè)可為每臺(tái)圖靈機(jī)解答這個(gè)問(wèn)題的算法,。

也可以將丟番圖方程視為計(jì)算設(shè)備,。以方程 y = x2 為例。它有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)解,。只需為 x 代入不同的整數(shù)并求解 y,，得到的值都屬于一個(gè)著名的整數(shù)集：完全平方數(shù)（the perfect squares）。我們很容易就能想象出一個(gè)能執(zhí)行其等價(jià)任務(wù)的計(jì)算機(jī)程序（即圖靈機(jī)）：「計(jì)算完全平方數(shù)的序列」,。

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