數(shù)學(xué)家猜想,，對(duì)于每一個(gè)整數(shù)環(huán)（即無限多個(gè)數(shù)字系統(tǒng)），這個(gè)問題仍然是不可判定的。這將使該結(jié)論遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出希爾伯特第十問題初始的整數(shù)范圍,。

為了證明這一點(diǎn),，他們希望追隨原始問題的證明腳步——僅涉及整數(shù)解的問題,。

一般來說,，不可判定性證明（確定是否存在可以回答給定問題的通用算法的證明）遵循相同的方法：證明相關(guān)問題等價(jià)于計(jì)算機(jī)科學(xué)中一個(gè)著名的不可判定問題，即停機(jī)問題（halting problem）,。停機(jī)問題問的是：對(duì)于一個(gè)理想的計(jì)算設(shè)備（稱為圖靈機(jī)）,，當(dāng)給定某個(gè)輸入時(shí)，該設(shè)備將永遠(yuǎn)運(yùn)行還是最終會(huì)停止,？現(xiàn)在人們已經(jīng)知道,，并不存在一個(gè)可為每臺(tái)圖靈機(jī)解答這個(gè)問題的算法。

也可以將丟番圖方程視為計(jì)算設(shè)備,。以方程 y = x2 為例,。它有無窮多個(gè)整數(shù)解。只需為 x 代入不同的整數(shù)并求解 y,，得到的值都屬于一個(gè)著名的整數(shù)集：完全平方數(shù)（the perfect squares）,。我們很容易就能想象出一個(gè)能執(zhí)行其等價(jià)任務(wù)的計(jì)算機(jī)程序（即圖靈機(jī)）：「計(jì)算完全平方數(shù)的序列」。

其它丟番圖方程也可以編碼成其它類型的計(jì)算,。

Julia Robinson

為了解決希爾伯特最初的第十問題，數(shù)學(xué)家們以這個(gè)想法為基礎(chǔ)開始了研究,。Julia Robinson 等人于 1950 年左右開始研究,，最終匯集成了 1970 年 Matiyasevich 的成果。研究結(jié)果表明,，對(duì)于每個(gè)圖靈機(jī),，都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的丟番圖方程?！高@完全出乎意料,，」智利天主教大學(xué)的 Hector Pasten 說,。「基于整數(shù)的丟番圖方程足以定義你能想象到的任何東西,?！?/p>

此外，數(shù)學(xué)家們還建立了一種優(yōu)雅的對(duì)應(yīng)關(guān)系：如果圖靈機(jī)因給定輸入而停止,，其對(duì)應(yīng)的丟番圖方程將有一個(gè)整數(shù)解,。

如果圖靈機(jī)永遠(yuǎn)運(yùn)行，其對(duì)應(yīng)的丟番圖方程將沒有解,。但這意味著希爾伯特第十問題編碼了停機(jī)問題：如果一種算法可以根據(jù)是否有整數(shù)解對(duì)丟番圖方程進(jìn)行分類,，那么該算法也可用于根據(jù)是否會(huì)停機(jī)對(duì)圖靈機(jī)進(jìn)行分類,。

換句話說,，希爾伯特第十問題是不可判定的。

數(shù)學(xué)家們希望采用同樣的方法來證明該問題擴(kuò)展的整數(shù)環(huán)版本——但他們遇到了一個(gè)障礙,。

將研究成果黏合起來

但在 1988 年，紐約大學(xué)的一名研究生 Sasha Shlapentokh 開始想辦法解決這個(gè)問題,。到 2000 年,，她和其他一些研究者制定了一個(gè)計(jì)劃。假設(shè)你要為 y = x2 添加一些其它項(xiàng),，從而可迫使 x 再次為整數(shù),，即便要使用不同的數(shù)字系統(tǒng)。然后,，你可以挽救與圖靈機(jī)的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,。那所有丟番圖方程都可以這樣做嗎？如果可以,，那就意味著希爾伯特問題可以在新的數(shù)字系統(tǒng)中編碼停機(jī)問題,。

多年來，Shlapentokh等數(shù)學(xué)家弄清楚了他們必須在各種環(huán)的丟番圖方程中添加哪些項(xiàng),，這使他們能夠證明希爾伯特問題在這些設(shè)置下仍然無法判定,。然后，他們將所有剩余的整數(shù)環(huán)歸結(jié)為一種情況：涉及虛數(shù)i的環(huán),。數(shù)學(xué)家們意識(shí)到,，在這種情況下，必須添加的項(xiàng)可以使用一類名為橢圓曲線（elliptic curve）的特殊方程來確定,。

但橢圓曲線必須滿足兩個(gè)屬性,。首先，它需要有無限多個(gè)解,。其次,，如果切換到不同的整數(shù)環(huán)——如果從數(shù)字系統(tǒng)中移除虛數(shù)——那么該橢圓曲線的所有解都必須保持相同的底層結(jié)構(gòu),。

事實(shí)證明，構(gòu)建這樣一條適用于所有剩余環(huán)的橢圓曲線是一項(xiàng)極其微妙和困難的任務(wù),。但Koymans和Pagano——從研究生階段就開始就密切合作的橢圓曲線專家——擁有合適的工具集來進(jìn)行嘗試,。

許多個(gè)不眠之夜

從本科開始，Koymans就一直在思考希爾伯特第十問題,。在就讀研究生以及在與Pagano合作期間,，這個(gè)問題一直在召喚他?！肝颐磕甓紩?huì)花幾天時(shí)間思考這個(gè)問題,，但總是陷入困境，」Koymans說,?！肝覈L試了三種方法，但它們都失敗了,?！?/p>

2022年，在加拿大班夫舉行的一次會(huì)議上,，他和Pagano最終聊到了這個(gè)問題,。他們希望能夠一起構(gòu)建出解決這個(gè)問題所需的特殊橢圓曲線。在完成了其它一些項(xiàng)目后,，他們開始了研究,。

Peter Koymans