Koymans 意識(shí)到,，另一項(xiàng)工作給了他們一個(gè)重要的提示,，即那些有時(shí)會(huì)出現(xiàn)的奇怪且驚人的數(shù)學(xué)一致性（mathematical concordance）：如果他們?cè)诙闻で惺褂玫臄?shù)字恰好是三個(gè)素?cái)?shù)的乘積，則他們就會(huì)獲得保證第二個(gè)性質(zhì)所需的控制權(quán),。但是，由于他們的橢圓曲線必須精心構(gòu)建并滿足許多規(guī)范,，因此對(duì)這三個(gè)素?cái)?shù)的取值有很多額外的限制,。Koymans 和 Pagano 能找到可行的素?cái)?shù)嗎 —— 不管對(duì)于哪個(gè)整數(shù)環(huán)？

幾天后，Pagano碰巧計(jì)劃訪問(wèn)當(dāng)時(shí)Koymans工作的瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院,。接下來(lái)的一周,，他們一起在黑板上努力尋找滿足所有限制的素?cái)?shù)。最后,，他們發(fā)現(xiàn)必須使用四個(gè)素?cái)?shù)而不是三個(gè)素?cái)?shù)來(lái)構(gòu)建所需的二次扭曲,。這使得他們能夠應(yīng)用一種來(lái)自完全不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的方法，即加性組合學(xué)（additive combinatorics）,，以確保每個(gè)環(huán)都存在正確的素?cái)?shù)組合,。

這就是最后一部分：他們構(gòu)建了所需的橢圓曲線。它為他們提供了向丟番圖方程添加項(xiàng)所需的方法,，這使他們能夠?qū)D靈機(jī)（以及停機(jī)問(wèn)題）編碼到這些方程中,，而不管他們使用什么數(shù)字系統(tǒng)。一切都解決了,。

希爾伯特第十問(wèn)題對(duì)于每個(gè)整數(shù)環(huán)都是不可判定的,。

上周四，在Koymans和Pagano在線發(fā)布他們的論文不到兩個(gè)月后,，結(jié)果得到了進(jìn)一步鞏固,。一個(gè)由四名數(shù)學(xué)家組成的獨(dú)立團(tuán)隊(duì)宣布了對(duì)同一結(jié)果的新證明。他們沒(méi)有尋找特殊的橢圓曲線,，而是依靠一種不同類型的方程來(lái)完成同樣的工作,。

這兩個(gè)團(tuán)隊(duì)都希望利用他們的技術(shù)（這些技術(shù)使他們對(duì)橢圓曲線和相關(guān)方程有了前所未有的控制）在其他問(wèn)題上取得進(jìn)展。普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)家,、第二個(gè)證明的作者之一 Manjul Bhargava 說(shuō)：「這兩種方法有可能結(jié)合起來(lái)做更多的事情,。」

與此同時(shí),，對(duì)不可判定性終結(jié)以及可判定性開始的位置的探索尚未結(jié)束：數(shù)學(xué)家們正在新的環(huán)境中繼續(xù)探索希爾伯特第十問(wèn)題,。

蒙特利爾大學(xué)的 Andrew Granville 認(rèn)為，這只是眾多問(wèn)題中的一個(gè),，這些問(wèn)題「反映了世界哪些部分為真的哲學(xué)方面」,。

所有知識(shí)都有極限。

Granville說(shuō)：「它提醒我們,，有些事情是無(wú)法做到的——無(wú)論你是誰(shuí),，無(wú)論你有怎樣的身份或才智?！?/p>