數學真理的極限在哪里,？希爾伯特第十問題擴展版得到證明(4)

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2025-02-06 11:25:37 機器之心Pro

其它丟番圖方程也可以編碼成其它類型的計算。

Julia Robinson

為了解決希爾伯特最初的第十問題,，數學家們以這個想法為基礎開始了研究,。Julia Robinson 等人于 1950 年左右開始研究，最終匯集成了 1970 年 Matiyasevich 的成果,。研究結果表明,，對于每個圖靈機，都有一個對應的丟番圖方程,?！高@完全出乎意料，」智利天主教大學的 Hector Pasten 說,?！富谡麛档膩G番圖方程足以定義你能想象到的任何東西?！?/p>

此外,，數學家們還建立了一種優(yōu)雅的對應關系：如果圖靈機因給定輸入而停止，其對應的丟番圖方程將有一個整數解,。

如果圖靈機永遠運行,，其對應的丟番圖方程將沒有解,。但這意味著希爾伯特第十問題編碼了停機問題：如果一種算法可以根據是否有整數解對丟番圖方程進行分類，那么該算法也可用于根據是否會停機對圖靈機進行分類,。

換句話說,，希爾伯特第十問題是不可判定的。

數學家們希望采用同樣的方法來證明該問題擴展的整數環(huán)版本——但他們遇到了一個障礙,。

將研究成果黏合起來

但在 1988 年,，紐約大學的一名研究生 Sasha Shlapentokh 開始想辦法解決這個問題。到 2000 年,，她和其他一些研究者制定了一個計劃。假設你要為 y = x2 添加一些其它項,，從而可迫使 x 再次為整數,，即便要使用不同的數字系統。然后,，你可以挽救與圖靈機的對應關系了,。那所有丟番圖方程都可以這樣做嗎？如果可以,，那就意味著希爾伯特問題可以在新的數字系統中編碼停機問題,。

多年來，Shlapentokh等數學家弄清楚了他們必須在各種環(huán)的丟番圖方程中添加哪些項,，這使他們能夠證明希爾伯特問題在這些設置下仍然無法判定,。然后，他們將所有剩余的整數環(huán)歸結為一種情況：涉及虛數i的環(huán),。數學家們意識到,，在這種情況下，必須添加的項可以使用一類名為橢圓曲線（elliptic curve）的特殊方程來確定,。

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