數(shù)學真理的極限在哪里？希爾伯特第十問題擴展版得到證明(4)

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2025-02-06 11:25:37 機器之心Pro

他們從一個簡單的橢圓曲線方程開始，這個方程不滿足任何所需的屬性,。他們知道他們可以使用一種名為二次扭曲（quadratic twist,，這是他們已經(jīng)研究了近十年的東西）的成熟技術來調整方程，使其滿足第一個條件,。他們只需將方程的一個變量乘以一個特定的數(shù)字,，他們就會得到一條有無限多個解的新橢圓曲線,。

但這給他們留下了一個問題,。他們無法保證這條新曲線滿足第二個性質——對于相差一個虛數(shù)的環(huán),，其解看起來會很相似。數(shù)學家們需要更好地控制二次扭曲,。

他們陷入困境,。「我有一種不好的感覺,，」Koymans說,。「我開始懷疑我們遺漏了什么東西,?！?/p>

然后，在2024年夏天,，在研究另一個問題時,，兩人不得不再次使用二次扭曲。一天晚上,，在這項研究過程中,，科伊曼斯發(fā)現(xiàn)自己躺在床上睡不著，無法停止思考希爾伯特第十問題,。

Koymans 意識到,，另一項工作給了他們一個重要的提示，即那些有時會出現(xiàn)的奇怪且驚人的數(shù)學一致性（mathematical concordance）：如果他們在二次扭曲中使用的數(shù)字恰好是三個素數(shù)的乘積,，則他們就會獲得保證第二個性質所需的控制權,。但是，由于他們的橢圓曲線必須精心構建并滿足許多規(guī)范,，因此對這三個素數(shù)的取值有很多額外的限制,。Koymans 和 Pagano 能找到可行的素數(shù)嗎 —— 不管對于哪個整數(shù)環(huán),？

幾天后,，Pagano碰巧計劃訪問當時Koymans工作的瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學院。接下來的一周,，他們一起在黑板上努力尋找滿足所有限制的素數(shù),。最后，他們發(fā)現(xiàn)必須使用四個素數(shù)而不是三個素數(shù)來構建所需的二次扭曲,。這使得他們能夠應用一種來自完全不同的數(shù)學領域的方法,，即加性組合學（additive combinatorics），以確保每個環(huán)都存在正確的素數(shù)組合,。

這就是最后一部分：他們構建了所需的橢圓曲線,。它為他們提供了向丟番圖方程添加項所需的方法,，這使他們能夠將圖靈機（以及停機問題）編碼到這些方程中，而不管他們使用什么數(shù)字系統(tǒng),。一切都解決了,。

希爾伯特第十問題對于每個整數(shù)環(huán)都是不可判定的。

上周四,，在Koymans和Pagano在線發(fā)布他們的論文不到兩個月后,，結果得到了進一步鞏固。一個由四名數(shù)學家組成的獨立團隊宣布了對同一結果的新證明,。他們沒有尋找特殊的橢圓曲線,，而是依靠一種不同類型的方程來完成同樣的工作。

這兩個團隊都希望利用他們的技術（這些技術使他們對橢圓曲線和相關方程有了前所未有的控制）在其他問題上取得進展,。普林斯頓大學數(shù)學家,、第二個證明的作者之一 Manjul Bhargava 說：「這兩種方法有可能結合起來做更多的事情?！?/p>

與此同時,，對不可判定性終結以及可判定性開始的位置的探索尚未結束：數(shù)學家們正在新的環(huán)境中繼續(xù)探索希爾伯特第十問題。

蒙特利爾大學的 Andrew Granville 認為,，這只是眾多問題中的一個,，這些問題「反映了世界哪些部分為真的哲學方面」。

所有知識都有極限,。

Granville說：「它提醒我們,，有些事情是無法做到的——無論你是誰，無論你有怎樣的身份或才智,?！?/p>

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(責任編輯：喬嬌 TT0002)

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