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桂林90后小姐姐破解世紀(jì)難題 網(wǎng)友：預(yù)定菲爾茲獎(2)

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2025-03-03 10:59:12  量子位

轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)即為：當(dāng)一根無限細(xì)的針向所有可能的方向旋轉(zhuǎn)時,，可以掃過的最小面積是多少？

△圖源：Merrill Sherman|Quanta

數(shù)學(xué)家將這些排列稱為Kakeya集,，在三維空間中,，Kakeya集包含了從所有方向都能看到的一根短線（單位長度的線段）,，而三維Kakeya猜想斷言：



即使Kakeya集（R3）可能看起來非常稀疏，因為它們是由一系列的線段軌跡組成的,，但其Minkowski維度和Hausdorff維度都等于3,。

其中Minkowski維度也被稱為“盒子維度”，通過不斷縮小覆蓋Kakeya集的結(jié)構(gòu)（如使用盒子或球體）,，可以計算出在不同尺度下覆蓋集合所需的數(shù)量與尺度大小的關(guān)系,。

而Hausdorff維度則更精細(xì)，它考慮了更細(xì)致的覆蓋方式,，允許使用不同大小和形狀的集合來覆蓋Kakeya集,，并通過這些覆蓋的最小化程度來定義維度。

當(dāng)這兩個維度均為3,，從數(shù)學(xué)的角度來看,，這些集合在幾何上與整個三維空間相同，它們在某種意義上填滿了空間的大部分,。

換句話說,，盡管這些集合的外觀可能非常稀疏，但它們實際上在幾何上具有與整個空間相同的“體積”或“大小”,。

以上說法轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：使用小尺度參數(shù)（0<<1）,，考慮一個由xx1的管子組成的集合。

這里的管子可以看作是一種細(xì)長的三維幾何體,，其橫截面是邊長為的正方形,，長度為1。集合中的管子數(shù)量大致為≈-2,，并且這些管子的指向是在一個-分離的集合方向上,。

所謂-分離，意味著任意兩個管子的方向之間的夾角至少為。通過這樣的方式,，將連續(xù)的,、復(fù)雜的Kakeya集問題，轉(zhuǎn)化為對這些離散的,、具有特定尺度和方向分布的管子集合的研究,。

而猜想在這種離散化情況下，這些管子的并集U?的體積應(yīng)該大約為1,。

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