桂林90后小姐姐破解世紀(jì)難題網(wǎng)友：預(yù)定菲爾茲獎(jiǎng)(2)

小大

用微信掃描二維碼
分享至好友和朋友圈

關(guān)鍵詞：

2025-03-03 10:59:12 量子位

轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)即為：當(dāng)一根無(wú)限細(xì)的針向所有可能的方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以掃過(guò)的最小面積是多少？

△圖源：Merrill Sherman|Quanta

數(shù)學(xué)家將這些排列稱為Kakeya集,，在三維空間中，Kakeya集包含了從所有方向都能看到的一根短線（單位長(zhǎng)度的線段）,，而三維Kakeya猜想斷言：

即使Kakeya集（R3）可能看起來(lái)非常稀疏,，因?yàn)樗鼈兪怯梢幌盗械木€段軌跡組成的,，但其Minkowski維度和Hausdorff維度都等于3。

其中Minkowski維度也被稱為“盒子維度”,，通過(guò)不斷縮小覆蓋Kakeya集的結(jié)構(gòu)（如使用盒子或球體）,，可以計(jì)算出在不同尺度下覆蓋集合所需的數(shù)量與尺度大小的關(guān)系。

而Hausdorff維度則更精細(xì),，它考慮了更細(xì)致的覆蓋方式,，允許使用不同大小和形狀的集合來(lái)覆蓋Kakeya集，并通過(guò)這些覆蓋的最小化程度來(lái)定義維度,。

當(dāng)這兩個(gè)維度均為3,，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，這些集合在幾何上與整個(gè)三維空間相同,，它們?cè)谀撤N意義上填滿了空間的大部分,。

換句話說(shuō)，盡管這些集合的外觀可能非常稀疏,，但它們實(shí)際上在幾何上具有與整個(gè)空間相同的“體積”或“大小”,。

以上說(shuō)法轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：使用小尺度參數(shù)（0<<1），考慮一個(gè)由xx1的管子組成的集合,。

這里的管子可以看作是一種細(xì)長(zhǎng)的三維幾何體,，其橫截面是邊長(zhǎng)為的正方形，長(zhǎng)度為1,。集合中的管子數(shù)量大致為≈-2,，并且這些管子的指向是在一個(gè)-分離的集合方向上。

所謂-分離,，意味著任意兩個(gè)管子的方向之間的夾角至少為,。通過(guò)這樣的方式，將連續(xù)的,、復(fù)雜的Kakeya集問(wèn)題,，轉(zhuǎn)化為對(duì)這些離散的、具有特定尺度和方向分布的管子集合的研究。

而猜想在這種離散化情況下,，這些管子的并集U?的體積應(yīng)該大約為1,。

關(guān)閉

桂林90后小姐姐破解世紀(jì)難題 網(wǎng)友：預(yù)定菲爾茲獎(jiǎng)(2)