桂林90后小姐姐破解世紀(jì)難題網(wǎng)友：預(yù)定菲爾茲獎(jiǎng)(3)

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2025-03-03 10:59:12 量子位

為了簡化證明過程，論文引入了幾種簡化假設(shè),。例如,，假設(shè)管集合是“粘性的”，即它們在多個(gè)尺度上保持相似的結(jié)構(gòu),。

基于此，該領(lǐng)域先前研究集中于形式為下界的研究（集合的最小可能維數(shù)）：

具體而言,，在三維空間中,，對于各種介于(0<d<3)之間的維數(shù)，人們期望d盡可能大,。

早期研究中,，人們陸續(xù)證明了d=1（僅考慮單管）、d=2（結(jié)合L2論證與線相交性質(zhì)）,、d=2.5（1995年Wolff梳子論證）的情況,。

對維度參數(shù)d進(jìn)行歸納直到最近，王虹,、Joshua Zahl二人證明了d=3的情況,。

概括而言，他們采用的證明策略十分復(fù)雜,，通過引入非聚集條件,、Wolff公理,、多尺度分析等技術(shù)來進(jìn)行了一系列論證。

這里我們直接看陶哲軒幫忙總結(jié)的關(guān)鍵技術(shù)環(huán)節(jié)：他們證明的總體思路是對維度參數(shù)d進(jìn)行歸納,。

他們先定義了一種情況K(d),，目標(biāo)是通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，證明對于處于一定范圍的維度參數(shù)d,，存在一種能從K(d)推導(dǎo)出K(d+)的關(guān)系,，其中是一個(gè)大于0且和d有關(guān)的數(shù)。

PS：K(d)是指對于所有尺寸為xx1,、方向?yàn)榉指舻募s-2個(gè)管子的配置,，不等式（1）成立。

通過不斷重復(fù)這個(gè)推導(dǎo)過程,，讓維度參數(shù)d逐漸接近3,。

具體來說，他們核心使用多尺度分析技術(shù),，對于管子的集合及其組織結(jié)構(gòu)進(jìn)行了深入研究,。

他們對粗細(xì)管進(jìn)行了分組，并將細(xì)管組合成粗管,。因?yàn)榧?xì)管的方向具有特定的分布性質(zhì),，所以每個(gè)粗管能容納的細(xì)管數(shù)量是有限的，相應(yīng)地,，要覆蓋所有細(xì)管就需要一定數(shù)量的粗管,。

然后，基于K(d)定義下的不等式,，他們計(jì)算出了粗管的總體積下限,，再結(jié)合之前計(jì)算粗管總體積的方法和結(jié)果，進(jìn)一步分析出了粗管的一個(gè)特殊屬性——“多重性”,。

這是指在粗管占據(jù)的空間里,，管子分布的一種密集程度或重疊程度。

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